回归教材重难点06 二次函数与几何的综合-【查漏补缺】2023年中考数学三轮冲刺过关

回归教材重难点06 二次函数与几何的综合 本考点是中考五星高频考点，难度较大，在全国各地市的中考试卷中均有考查。 （2022年辽宁省朝阳市中考数学试卷第25题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC． （1）求抛物线的解析式及点B的坐标． （2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值． （3）动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式求得a，c的值，进而得出解析式，当y＝0时，求出方程的解，进而求得B点坐标； （2）由B，C两点求出BC的解析式，进而设出点P和点Q坐标，表示出PQ的长，进一步得出结果； （3）要使以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形，只需△PMB是等腰三角形，所以分为PM＝BM，PM＝PB和BP＝BM，结合图象，进一步得出结果． 【解答】解：（1）由题意得， ， ∴， ∴y＝x2+2x﹣3， 当y＝0时，x2+2x﹣3＝0， ∴x1＝1，x2＝﹣3， ∴B（﹣3，0）； （2）设直线BC的解析式为：y＝kx+b， ∴， ∴， ∴y＝﹣x﹣3， 设点P（m，﹣m﹣3），Q（m，m2+2m﹣3）， ∴PQ＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+， ∴当m＝﹣时，PQ最大＝； （3）如图1， ∵B（﹣3，0），C（0，﹣3）， ∴OB＝OC＝3， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°， 作PD⊥y轴于D， ∴CD＝PD＝PC•sin∠OCB＝＝t， 当BM＝PM时， ∴∠MPB＝∠OBC＝45°， ∵∠PMO＝∠PDO＝∠MOD＝90°， ∴四边形OMPD是矩形， ∴OM＝PD＝t， 由BM+OM＝OB得， ∴2t＝3， ∴t＝， ∴P（﹣，﹣）， ∴N（﹣3，﹣）， 如图2， 当PM＝PB时，作PD⊥y轴于D，作PE⊥x轴于E， ∴BM＝2BE， 可得四边形PDOE是矩形， ∴OE＝PD＝t， ∴BE＝3﹣t， ∴t＝2（3﹣t）， ∴t＝2， ∴P（﹣2，﹣1）， ∴N（﹣2，1）， 如图3， 当PB＝MB时， 3﹣＝t， ∴t＝6﹣3， ∴P（3，3﹣3）， ∴N（0，3﹣3）， 综上所述：N（﹣3，﹣）或（﹣2，1）或（0，3﹣3）． 点评：本题考察了二次函数及其图象的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的分类和等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出符合条件的图形。 二次函数与几何图形的综合不仅是中考数学中的重点，而且还是常见的压轴题题型，难度一般较大，需要考生的逻辑思维能力也更强。 本考点是中考五星高频考点，难度较大，多数还会以压轴题出现，在全国各地市的中考试卷中均有考查。 技法：二次函数的存在性问题经常考察等腰三角形、直角三角形、等要直角三角形、平形四边形、特殊平行四边形、相似三角形、角等，这些问题中，特殊图形的存在性问题多需要分类讨论，重点注意二次函数所结合图形的性质的判定。 【中考真题练】 1．（2022•自贡）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论： ①c≥﹣2； ②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大； ③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3； ④当四边形ABCD为平行四边形时，a＝． 其中正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④ 2．（2022•陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴的交点为C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P的坐标． 3．（2022•攀枝花）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为﹣1，点M（1，m）是其对称轴上一点，y轴上一点B（0，1）． （1）求二次函数的表达式； （2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结PA，PB，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N