第14章 全等三角形常见模型 讲义 2022-2023学年沪教版七年级下册

全等三角形常见模型 · 一线三等角模型: “一线三等角”是一个常见的几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的图形， 这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，以下称为“一线三等角”。 【例题1】如图①，在ABC 中， BAC 90 ， AB AC ，直线l 经过点 A ，且 BD l 于的 D ， CE l 于的 E ， （1） 求证： BD CE DE ； （2） 当变换到如图②所示的位置时，试探究 BD 、CE 、 DE 的数量关系，请说明理由。 【例2】如图，在ABC 的两边 AB ， AC 上向ABC 外作正方形 ABEF ， ACGH ，过点 A 作 BC 的垂线分别交 BC 于点 D ，交 FH 于点 M ，求证： FM MH 。 【练习1】在△ABC 中， AB AC ，D 、A 、E 三点都在直线 m 上，并且有BDA AEC BAC ，其中 为任意钝角，请问结论 DE BD CE 是否成立？若成立，请你给出证明：若不成立，请说明理由。 · 手拉手模型: 特征：两个顶角相等的等腰三角形共顶点或两个正方形共顶点或由一个三角形绕着某顶点旋转而成的模型， 有的地区又叫“旋转模型” 应用：①证明三角形全等 ②做辅助线构造手拉手模型 【例1】如图，已知A,P,B三点在同一条直线上，且APC 和正PDB是正三角形 ，连接 BC、AD，试证明：N M ①；② 除①外找出图中另外两对全等三角形并证明； ③ ； ④联结MN,试证明MN//AB ；⑤为等边三角形 【练习1】已知：如图，△AOB 和△OCD 中，OA=OB，OC=OD，且∠AOB=∠COD，AC，BD 交于点 E，以下结论：①AC=BD；②∠AEB=∠AOB；③OE 平分∠AED．其中正确的有________ · 半角模型: 特征：①共顶点 ②等线段 ③夹半角 常见夹半角：①90°夹45° ；②120°夹60° 辅助线思路：截长补短或者旋转 【例题1】从正方形ABCD的顶点A作∠EAF=45°，交DC于F,BC于E，试说明：DF+BE=EF． A B C D E F 【例题2】如图所示，△ABC是边长为1的正三角形，∠ BDC= 120°，BD=CD，以D为 顶点作一个60°的∠MDN，点M、N分别在AB，AC上，求△AMN的周长．A B C D M N 【练习1】已知：边长为 1 的正方形 ABCD 中，M、N 分别是 BC、CD 上的点 （1）若 MN=BM+ND，求证：∠MAN=45°； （2）若△MNC 得周长为 2，求∠MAN 的度数． 课后作业 【作业1】 如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．试说明：AD<(AB+AC)．A B C D 【作业2】 已知，如图1所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE， ∠BAC=∠DAE，且点B、A、D在一条直线上，连接BE、CD，M、N分别为BE、CD 的中点． （1）试说明：①BE=CD；②AN=AM； （2）在图1的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得A B C D E N M 图1 A B C D E M N 图2 到图2所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立． 【作业3】（1）已知，如图①，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线 m 经过A，BD⊥直线 m， CE⊥直线 m，垂足分别为点 D、E，求证：DE=BD+CE． （2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB＝AC，D、A、E 三点都在直线 m 上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中 α 为任意钝角，请问结论 DE=BD+CE 是否成立？若成立，请你给出证明：若不成立，请说明理由． 【作业4】如图，△ABC中，AB<AC，AD是中线，试说明：∠DAC<∠DAB． A B C D 【作业5】△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，试说明：∠C=2∠B．A B C D 学科网（北京）股份有限公司 $