5.4圆周角和圆心角的关系课件2022-2023学年 数学九年级下册鲁教版（五四制）

5.4 圆周角和圆心角的关系 第五章 圆 知识点 感悟新知 1 圆周角 1. 圆周角的定义 顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角. 特征 圆周角必须满足两个条件: ①顶点在圆上;②两边都和圆相交. 感悟新知 圆心角与圆周角的区别与联系: 名称 圆心角 圆周角 区 别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中,一条弧所对的圆心角唯一 在同圆中,一条弧所对的圆周角有无数个 联系 两边都与圆相交 感悟新知 2. 圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 如图3-4-1,∠ ACB= ∠ AOB. 特别警示:定理中的圆周角与圆心角是 通过它们所对的同一条弧联系在一起的, 故不能把同一条弧这个前提省略. 感悟新知 如图3-4-2,AB 是⊙ O 的直径, 弦BC=BD, 若 ∠ BOD=50°,求∠ A 的度数. 例 1 5 感悟新知 解:连接OC,如图3-4-2. ∵ BC=BD, ∴∠ BOC= ∠ BOD=50°. ∴∠ A= ∠ BOC= ×50°=25°. 6 感悟新知 1-1. 如图,在⊙ O 中,弦AB,CD 相交于点P. 若∠ A=48°,∠ APD=80°,则∠ B 的大小为( ) A. 32° B. 45° C. 52° D. 62° A 7 知识点 圆周角定理的推论 感悟新知 2 1. 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等. “同弧或等弧”若改 为“同弦或等弦”结论就不成立了.因为一条弦(非直径)所对的圆周角有两种情况:优弧上的圆周角和劣弧上的圆周角. 感悟新知 2. 推论2 (1)直径所对的圆周角是直角; (2)90°的圆周角所对的弦是直径. 3.“五量关系”定理(拓展归纳) 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对(或所含)的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 感悟新知 如图3-4-3,A,P,B,C 是圆上的四个点,∠ APC= ∠ CPB=60°.求证:△ ABC 是等边三角形. 例2 感悟新知 证明:∵ A,P,B,C 是圆上的四个点, ∴∠ ABC= ∠ APC,∠ CPB= ∠ BAC. 又∵∠ APC= ∠ CPB=60°, ∴∠ ABC= ∠ BAC=60°. ∴△ ABC 是等边三角形. 感悟新知 2-1. 如图, 以△ ABC的一边AB 为直径的半圆与其他两边AC,BC的交点分别为D,E,且DE = BE, 试判断△ ABC 的形状,并说明理由. ︵ ︵ 感悟新知 解:△ABC为等腰三角形.理由如下: 如图,连接AE.∵DE=BE,∴∠CAE=∠BAE. ∵AB为半圆的直径,∴∠AEB=∠AEC=90°. 又∵AE=AE,∴△ABE≌△ACE(ASA). ∴AB=AC.∴△ABC为等腰三角形. ︵ ︵ 感悟新知 如图3-4-4,AB 是⊙ O 的直径,BD 是⊙ O 的弦,延 长BD 到点C,使AC=AB. 求证:BD=CD. 例 3 感悟新知 证明:如图3-4-4,连接AD. ∵ AB 是⊙ O 的直径, ∴∠ ADB=90°,即AD ⊥ BC. 又∵ AC=AB,∴ BD=CD. 感悟新知 3-1. 如图,AB 是⊙ O的直径, ∠ C=25 °,求∠ BAD 的度数. 感悟新知 解:∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°. ∵∠C=25°,∴∠B=∠C=25°. ∴∠BAD=90°-∠B=65°. 感悟新知 如图3-4-5,已知经过原点的⊙ P 与x 轴、y 轴分别 交于A,B 两点,点C 是弧AB 上一点,则∠ ACB 的度数是( ) A. 80° B. 90° C. 100° D. 无法确定 例4 B 感悟新知 解:连接AB,如图3-4-5. ∵∠ AOB=90°, ∴ AB 是⊙ P 的直径. ∴∠ ACB=90°. 感悟新知 4-1. 如图,把直角三角板的直角顶点O 放在破损的圆玻璃镜的圆周上,两直角边与圆弧分别交于点M,N, 量得OM=8 cm,ON=6 cm,则该圆玻璃镜的半径是_ . 5 cm 知识点 圆内接四边形 感悟新知 3 1. 圆内接四边形 四边形ABCD 的四个顶点都在⊙ O 上,像这样的四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆. 特别解读 每一个圆都有无数个内接四边形,但并不是所有的四边形都有外接圆,只有对角互补的四边形才有外接圆. 感悟新知 2. 圆周角定理的推论3 圆内接四边形的对角互补. 感悟新知 如图3-4-6,四边形ABCD 为⊙ O 的内接四边形,已知∠ BOD=100°,则∠ BCD 的度数为( ) A. 50° B. 80° C. 100° D. 130° D 例 5 感悟新知 解:∵∠ BAD 与∠ BOD 是同弧所对的圆周角和圆心角,∴∠