2023年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2023年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 1．如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为，OP=1，求BC的长． 2．如图，点在的直径的延长线上，点在上，且AC=CD，∠ACD=120°. （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积. 3．如图，AB是⊙O的直径，点E是上的一点，∠DBC=∠BED， （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）已知AD=3，CD=2，求BC的长． 4．如图，中，，以为直径的⊙交于点，点为延长线上一点，且． （1）求证：是⊙的切线； （2）若，求⊙的半径． 5．如图，在中，，点在边上，经过点和点且与边相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 6．如图，在中，，是斜边上的中线，以为直径的分别交、于点、，过点作，垂足为． （1）若的半径为，，求的长；（2）求证：与相切． 7．如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延长线交于点M，∠COB＝∠APB． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）当MB＝4，MC＝2时，求⊙O的半径． 8．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60°. (1)求证：AE是⊙O的切线； (2) 连接OC,当BC＝3时，求劣弧AC的长和扇形B0C的面积． 9．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作交AB于点F，连接DB交于点H，E是BC上的一点，且，连接DE． （1）求证：DE是的切线． （2）若，，求的半径． 10．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF． （1）求证：CF是⊙O的切线． （2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC． 11．如图，△ABC内接于⊙O，AD与BC是⊙O的直径，延长线段AC至点G，使AG＝AD，连接DG交⊙O于点E，EF∥AB交AG于点F． （1）求证：EF与⊙O相切． （2）若EF＝2，AC＝4，求扇形OAC的面积． 12．如图，以的边为直径作⊙O交斜边于点E，连接并延长交的延长线于点D，点F为的中点，连接. （1）判断与⊙O的位置关系并说明理由； （2）若⊙O的半径为2，，求的长. 13．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上的一点，点D在⊙O上且AD=CD，∠C=30°.   （1）求证：CD是⊙O的切线，     （2）若⊙O的半径为5，求 的长. 14．如图1，是的直径，是弦，点是的中点，交的延长线于． （1）求证：是的切线； （2）如图2，作于，交于，若，，求的长． 15．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DF⊥AC于点F，交BA的延长线于点E．求证： （1）BD＝CD； （2）DE是⊙O的切线． 16．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC=10，BC=12，点E是弧BC的中点. (1)过点E作BC的平行线交AB的延长线于点D，求证：DE是⊙O的切线. (2)点F是弧AC的中点，求EF的长. 17．如图，CD为⊙O的直径，弦AB垂直于CD，垂足为H，∠EAD＝∠HAD． （1）求证：AE为⊙O的切线； （2）延长AE与CD的延长线交于点P，过D 作DE⊥AP，垂足为E，已知PA＝2，PD＝1，求⊙O的半径和DE的长． 18．如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，分别与、交于点、． （1）过点作，垂足为，求证：为的切线； （2）连接，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）证明见解析；（2）2． 【分析】（1）连接OB，根据OP⊥OA，CP=CB得出∠CPB=∠APO，根据OA=OB得出∠A=∠OBA，然后根据∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°得出切线； （2）设BC=x，则PC=x，OC=x+1，然后根据Rt△OBC的勾股定理求出x的值，从而得出BC的长度． 【解析】解：（1）连结OB，如图， ∵OP⊥OA， ∴∠AOP=90°， ∴∠A+∠APO=90°， ∵CP=CB， ∴∠CBP=∠CPB， 而∠CPB=∠APO， ∴∠APO=∠CBP， ∵OA=OB， ∴∠A=∠OBA， ∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°， ∴OB⊥BC， ∴BC是⊙O的切线； （2）设BC=x，则PC=x， 在Rt△OBC中，OB=，OC=CP+OP=x+1， ∵OB2+BC2=OC2， ∴（）2+x2=（x+1）2， 解得x=2， 即BC的长为2． 【点评】本题考查切线的判定及其勾股定理