北京市中关村中学2022-2023学年高二下学期期中调研数学试卷

北京市中关村中学2022—2023学年第二学期期中调研 高二数学 2023.04 本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案书写在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。 第一部分 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 4 分，共40 分。在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。） 1．已知等差数列中，，那么（ ） A. 9 B. 10 C. 17 D. 24 2. 已知各项均为正数的等比数列满足，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 3. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 下列给出四个求导运算： 其中运算结果正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如果把二次函数与其导函数的图象画在同一个坐标系中，则下面四组图中一定错误的是( ) A. B. C. D. 6. 已知等差数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（ ） A. 25 B. C. 5 D. 8. 大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论。其前项依次是、、、、、、、、、. 其通项公式为 如果把这个数列排成右侧形状，并记表示第m行中从左向右第n个数，则的值为（ ） A. 1984 B. 2048 C. 5724 D. 5832 9. 右图是函数的导函数的图象，x y O 1 2 –2 给出下列命题： ①是函数的极值点； ②是函数的极值点； ③在处切线的斜率小于零； ④在区间上单调递增. 则正确命题的序号是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ①③④ 10. 已知函数，，若，且存在，使得成立，则n的最大值为（ ）（注：e=2.71828…为自然对数的底数） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 第二部分 二、填空题（本大题共 5小题，每小题 5 分，共25 分。请把答案填在答题卡中相应题中横线上。） 11. 用数字1，2，3，4组成的无重复数字的三位数的个数为___________.（用数字作答） 12. 若函数是R上的单调增函数，则实数的取值范围是_____________. 13. 数学家祖冲之曾给出圆周率π的两个近似值：“约率”与“密率”．它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率．由，取3为弱率，4为强率，得，故为强率，与上一次的弱率3计算得，故为强率，继续计算，……．若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推．已知，则m＝_______；_______． 14. 数列的前n项和为，则__________， 数列中最大项的值为________. 15. 已知 ① 若有两个零点，则的取值范围是__________ ； ② 当时，则满足的的取值范围是__________． 三、解答题（本大题共 6小题，共85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 16.（本小题13分） 已知数列是等差数列，为其前n项和，。 (1) 求的通项公式； (2) 设，求数列的前n项和。 17.（本小题15分） 已知函数，其中，从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题. 条件①：函数在点处的切线方程为； 条件②：函数的单调递减区间为（-3，1）； 条件③：函数的三个零点分别是0、、. (1) 求的解析式； (2) 求的极值； (3) 若函数在区间[-4，c]上的最小值为-5，求c的取值范围。 18.（本小题14分） 如图：在四棱锥中，底面是正方形，，，点在上，且. (1) 求证：平面； (2) 求二面角的余弦值； (3) 证明：在线段上存在点，使∥平面，并求线段的长. 19.（本小题14分） 已知椭圆E：的短轴长为2，两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l: 与椭圆E有且只有一个公共点T. (1) 求椭圆E的方程及点T的坐标； (2) 设O是坐标原点，直线平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P. 证明：存在常数λ，使