精品解析：山东省实验中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

山东省实验中学2022~2023学年第二学期期中 高二数学试题 第Ⅰ卷（共60分） 一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 若，则正整数（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】利用组合数、排列数的定义直接展开，解方程即可求得. 【详解】因为， 所以，解得：. 故选：8 2. 点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】动点在曲线，则找出曲线上某点的斜率与直线的斜率相等的点为距离最小的点，利用导数的几何意义即可 【详解】不妨设，定义域为： 对求导可得： 令 解得：（其中舍去） 当时，，则此时该点到直线的距离为最小 根据点到直线的距离公式可得： 解得： 故选：A 3. 设集合，集合，定义，则子集的个数是（ ） A. B. C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给的两个集合的元素，写出两个集合的交集和并集，根据新定义的集合规则，得到和分别有种和种情况，最后由分步计数原理得出的元素个数，再根据含有个元素的集合有个子集计算可得. 【详解】因，，所以，， 又， 则有2种情况，有5种情况，则由乘法原理可得的元素个数有个， 所以子集的个数是. 故选：B 4. 若函数，满足且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先取，得与之间的关系，然后根据导数的运算直接求导，代值可得. 【详解】取，则有，即，又因为所以，所以，所以. 故选：C 5. 设，其中是自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设函数，利用导数求得函数在单调递减，在上单调递增，再化简，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】设函数，可得， 当时，可得，单调递减； 当时，可得，单调递增， 又由， 因为，所以，即. 故选：D. 6. 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（ ） A. 0.08 B. 0.1 C. 0.15 D. 0.2 【答案】A 【解析】 【分析】利用条件概率公式即可求解. 【详解】以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的， B表示取得的X光片为次品， P=，P=，P=， P=，P=，P=； 则由全概率公式， 所求概率为P=P+P+P =×+×+×=0.08. 故选：A 7. 已知函数（为实数），且，则函数在区间上极值点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由，结合的取值范围得到，再结合零点存在定理，利用导数法求解. 【详解】解：因为， 所以，则或， 因为，所以. 则， 所以在上单调递增， 又，， 所以在上仅有一个零点. 所以函数在上先单调递减再单调递增， 又，， 即在上存在一个极值点. 同理知在上也存在一个极值点， 因此在上共有3个极值点. 故选：C 8. 定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为.若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”.已知在区间上为“凹函数”，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“凹函数”的定义得到，即在上恒成立，构造函数推得，再构造函数推得，从而得到，由此得解. 【详解】因为，所以，， 则，， 因为在区间上为“凹函数”，所以， 即在上恒成立，则在上恒成立， 当，即时，因为，，所以， 故显然成立， 当，即时，令，则上恒成立， 又因为，所以在上单调递增， 所以，即，则在上恒成立， 令，则， 又，当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 所以， 综上：，即. 故选：D. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．） 9. 已知随机变量满足，若，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件及二项分布的期望与方差公式，结合期望与方差的线性公式即可求解. 【详解】因为，所以，故A正确； 所以，