4.6 一元二次方程根与系数的关系 课件2022-2023学年数学九年级上册青岛版

第4章 一元二次方程 数学(QD) · 九年级上册 *4 . 6 一元二次方程根与系数的关系 学习目标 1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系. 2.灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题． 3. 提高学生综合运用基础知识分析解决较为复杂问题的 能力． 4 . 6 一元二次方程根与系数的关系 实验与探究 (1) 解下面的一元二次方程： ① x2＋3x＋2＝0， ② x2－5x＋6＝0 ③ 3x2＋x－2＝0， ④ 2x2－4x＋1＝0 4 . 6 一元二次方程根与系数的关系 (2) 根据(1)中所求出的每个方程的根，分别计算两根之和与两根之积并把结果填入下表： 一元二次方程 x1 x2 x1＋x2 x1x2 ① x2＋3x＋2＝0 －2 －1 －3 2 ② x2－5x＋6＝0 2 3 5 6 ③ 3x2＋x－2＝0 －1 － － ④ 2x2－4x＋1＝0 2 4 . 6 一元二次方程根与系数的关系 (3) 观察上表，你发现在上面的四个方程中，两根之和与两根之积的值分别与相应的方程的系数之间有怎样的关系? 我发现方程①②的二次项系数为1时，一元二次方程的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项. 方程③④的二次项系数不是1时，化成二次项系数是 1的情况后，可把小亮的发现进一步推广. 4 . 6 一元二次方程根与系数的关系 (4) 由此你猜想一元二次方程 ax2＋bx＋c ＝0 的两个根 x1，x2 与方程的系数 a，b，c 之间有什么关系?能证明你的猜想是正确的吗?与同学交流. 当 b2－4ac≥0时，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个实数根是 x1 ＝ ，x2＝ . 4 . 6 一元二次方程根与系数的关系 于是，两个根的和为 x1＋x2 ＝ ＋ ＝ ＝－ 4 . 6 一元二次方程根与系数的关系 两个根的积为 x1x2 ＝ • ＝ ＝ 4 . 6 一元二次方程根与系数的关系 所以，一元二次方程的根与系数有以下的关系： 如果一元二次方程 ax2＋bx＋c ＝0 的两个根是 x1，x2，那么 x1＋x2＝－ ， x1x2＝. 4 . 6 一元二次方程根与系数的关系 例 1 关于x的方程 3x2＋mx－4＝0有一个根是2，求另一个根及m的值. 解：设方程的另一个根为x，则由一元二次方程根与系数的关系，得 x1＋2＝－， ① 2x1＝－ . ② 4 . 6 一元二次方程根与系数的关系 由②，得 x1 ＝－ . 代入①，得 －＋ 2 ＝ －， 解得 m＝－4. 所以，方程的另一个根是－，m的值是－4. x1＋2＝－， ① 2x1＝－ . ② 4 . 6 一元二次方程根与系数的关系 对于例1，你还有其他的解法吗? 有. 4 . 6 一元二次方程根与系数的关系 把x＝2代入 3x2＋mx－4＝0，得 12＋2m－4＝0， 解得 m＝－4. 设方程的另一个根为 x1， 则 2＋x1＝－ ＝ ， 解得 x1 ＝－. 所以方程的另一个根是－，m的值是－4. 4 . 6 一元二次方程根与系数的关系 例 2 设 x1，x2 是方程 2x2＋5x＋1＝0 的两个根，求下列各式的值： (1) (x1＋1)(x2＋1)； (2) ＋. 解：由一元二次方程根与系数的关系，得 x1＋x2＝－ ，x1x2＝. 4 . 6 一元二次方程根与系数的关系 (1) (x1＋1)(x2＋1) ＝ x1x2 ＋ () ＋ 1 ＝ － ＋ 1 ＝ － 1； (2) ＋＝ ＝(－ ) ÷() ＝ －1. 4 . 6 一元二次方程根与系数的关系 史海漫游 一元二次方程与韦达定理 人类对一元二次方程的认识和研究的历史可以追溯到四千年以前，早在公元前 18世纪，巴比伦人就在泥板上记载了这样的问题：“已知正方形的面积与边长的差为 870，求正方形的边长”. 4 . 6 一元二次方程根与系数的关系 这相当于求方程 x2－px＝q (此时p＝1，q＝870)的正根.巴比伦人是通过计算 ＋ 求得该方程的解为 30. 可以看出，该计算方法正是一元次方程求根公式的特殊情况. 4 . 6 一元二次方程根与系数的关系 到了公元 820 年左右，阿拉伯数学家花拉