4.5 一元二次方程根的判别式 课件 2022—2023学年青岛版数学九年级上册

第4章 一元二次方程 数学(QD) · 九年级上册 4 . 5 一元二次方程根的判别式 学习目标 1. 理解什么是一元二次方程根的判别式； 2. 会熟练应用根的判别式判断一元二次方程根的情况． 4 . 5 一元二次方程根的判别式 实验与探究 (1) 你会解方程 x2＋2x＋5＝0 吗? 试一试. 因为 22－4×1×5＜0， 所以无法用公式法解这个方程. 配方，得 (x＋1)2＝－4. 因为任何实数的平方都不可能是负数，所以任何实数都不会是原方程的根. 4 . 5 一元二次方程根的判别式 (2) 由4.3 节我们知道，当 b2－4ac ≥0 时，一元二次 方程 ax2＋bx＋c＝0 ① 可以利用求根公式 x ＝ 求出它的根. 4 . 5 一元二次方程根的判别式 你发现当 b2－4ac＞0与 b2－4ac ＝0 时，方程的两个根分别具有什么特征? 4 . 5 一元二次方程根的判别式 当 b2－4ac＞0 时，由于是正数，－ 是负数，所以 x ＝是两个不相等的实数. 因此，方程①有两个不相等的实根： x1＝ ，x2＝ . 4 . 5 一元二次方程根的判别式 如果 b2 － 4ac ＝ 0，那么 ＝ 0，这时方程① 有两个相等的实根： x1＝ x2＝ － . 4 . 5 一元二次方程根的判别式 如果 b2－4ac＜0，将方程①配方后，得 (x＋ )2 ＝. 方程的右边由于分母 4a2＞0，所以 ＜ 0，而(x＋ )2不可能是负数，这时方程①没有实根. 4 . 5 一元二次方程根的判别式 由此可见，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0是否有实根，有实根时两个实根是否相等，均取决于个含有该方程各项系数的代数式 b2－4ac 的值的符号，因而把 b2－4ac 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c ＝0的根的判别式，通常用∆表示，即∆＝b2－4ac. 符号“∆”是希腊字母，读作“delta”. 小资料 4 . 5 一元二次方程根的判别式 把上面讨论所得到的结论加以归纳，就得到 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 当∆＞0时有两个不相等的实根； 当∆＝0时有两个相等的实根； 当∆＜0时没有实根. 4 . 5 一元二次方程根的判别式 上面结论的逆命题也是正确的.你能说出它的逆命题吗? 4 . 5 一元二次方程根的判别式 例 1 不解方程，判断下列方程根的情况： (1) 2x2 ＋ x－4＝0； (2) 4y2＋9 ＝12y； (3) 5(t2＋1)－6t＝0. 如果一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不相等的实根，那么∆＞0； 如果有两个相等的实根，那么∆＝0； 如果没有实根，那么∆ ＜ 0. 4 . 5 一元二次方程根的判别式 (1) 2x2 ＋ x－4＝0； 解：这里 a＝2，b＝1，c＝－4. ∵ ∆＝b2－4ac ＝12－4×2×(－4) ＝33＞0， ∴ 方程有两个不相等的实根 4 . 5 一元二次方程根的判别式 (2) 4y2＋9 ＝12y； 解：把原方程化为一般形式，得 4y2－12y＋9＝0. 这里 a＝4，b＝－12，c＝9. ∵∆＝b2－4ac ＝ (－12 )2－4×4×9＝0. ∴ 原方程有两个相等的实根. 4 . 5 一元二次方程根的判别式 (3) 5(t2＋1)－6t＝0. 解：把原方程化为一般形式，得 5t2－6t＋5＝0. 这里 a＝5，b＝－6，c＝5. ∵∆＝b2－4ac ＝ (－6)2－4×5×5＝－64 ＜0. ∴ 原方程没有实根. 4 . 5 一元二次方程根的判别式 例 2 已知关于x的一元二次方程 kx2－3x＋1＝0 有两个不相等的实根. (1) 求的取值范围； (2) 选择一个的正整数值，并求出方程的根. 4 . 5 一元二次方程根的判别式 kx2－3x＋1＝0 (1) 求k的取值范围； 解：∵关于x的一元二次方程 kx2－3x＋1＝0 有两个不相等的实根， 4 . 5 一元二次方程根的判别式 ∴ ∆＝ (－3)2－4k＞0， 即 9－4k＞0.