4.1 一元二次方程课件2022-2023学年数学九年级上册数学青岛版

第4章 一元二次方程 数学(QD) · 九年级上册 4 . 1 一元二次方程 学习目标 1. 在将实际问题转化为一元二次方程模型的过程中，形成对一元二次方程的感性认识. 2. 理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程. 3.知道一元二次方程的一般形式，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式，能写出一般形式中一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项. 4 . 1 一元二次方程 交流与发现 (1) 教室的面积为 54 m2，长比宽的2倍少3 m，如果要求出教室的长和宽怎样根据问题中的数量关系列出方程? 设这个教室的宽为 x m，则它的长为_________m . 根据问题中的等量关系 长×宽＝矩形的面积， 可以得到方程_________________________. (2x－3) x(2x－3) ＝54 4 . 1 一元二次方程 (2) 直角三角形斜边的长为 11 cm，两条直角边的差为 7 cm. 如果要求出两条直角边的长，怎样根据问题中的数量关系列出方程? 设较短直角边的长为x cm，由两条直角边的差为 7 cm 可知，较长直角边的长是_______cm . 根据问题中的等量关系 两条直角边的平方和＝斜边的平方， 可以得到方程__________________. (x＋7) x2＋(x＋7)2 ＝ 112 4 . 1 一元二次方程 (3) 如图4-1，点C是线段AB上的一点，且 ＝. 如果要求 的值，怎样根据问题中的数量关系列出方程? 设AB＝1，AC＝x，由AC ＋ CB ＝AB可知，CB的长为____________. 根据问题中的等量关系 ＝ ，即 AC2 ＝ AB·CB， 可以得到方程_________________________. 1 －x x2 ＝ 1 － x 4 . 1 一元二次方程 (4) 由上面的三个问题，分别得到了下面的方程： x(2x－3)＝54， ① x2＋(x＋7)2＝112， ② x2＝1－x. ③ 把它们分别进行整理，得 2x2－3x－54 ＝0， x2＋7x－36＝0， x2＋x－1＝0. 4 . 1 一元二次方程 你发现方程①②③与整理后的三个方程有哪些共同特征? 4 . 1 一元二次方程 你发现方程①②③与整理后的三个方程有哪些共同特征? 方程①②③的两边都是整式，它们都只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程. 4 . 1 一元二次方程 经过整理，一元二次方程都可以化为 ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a≠0) 的形式，称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c 分别叫做这个方程的二次项、一次项和常数项，a，b 分别叫做二次项系数和一次项系数. 4 . 1 一元二次方程 (5) 你能分别说出方程①②③化成一般形式后的二次项、一次项、常数项，以及二次项系数和一次项系数吗? 4 . 1 一元二次方程 例 1 把方程 (2x＋1)(3x－2) ＝ x2＋2 化为一元二次方程的一般形式写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数、一次项系数. 4 . 1 一元二次方程 解：将原方程去括号，得 6x2 ＋3x －4x－2 ＝ x2＋2. 移项，合并同类项，得 5x2－x－4 ＝ 0. 方程的二次项为 5x2，一次项为－x，常数项为 －4；二次项系数为 5，一次项系数为－1. 4 . 1 一元二次方程 挑战自我 a为何值时，方程 ax2－x ＝ 2x2－ax－3 是一元二次方程?a为何值时，是一元一次方程? 只有当二次项的系数 a≠0 时，方程 ax2＋bx＋c＝ 0 才是一元二次方程. 4 . 1 一元二次方程 将方程 ax2－x ＝ 2x2－ax－3 整理，得 (a－2)x2＋(a－1)x＋3＝0， 所以当a － 2 ≠ 0， 即a ≠ 2时，方程是一元二次方程； 当 a－2 ＝ 0且 a－1 ≠ 0，即 a＝2 时，方程是一元一次方程. 4 . 1 一元二次方程 练 习 1. 下面方程中哪些是一元二次方程? 哪些不是?为什么? (1) x2－9＝0； (2) (x＋3) (x－1) ＝x2； (3) (2x＋1) ( 2x－1) ＝ 0； (4)