3.7 正多边形与圆 课件　2022—2023学年青岛版数学九年级上册

第3章 对圆的进一步认识 数学(QD) · 九年级上册 3 . 7 正多边形与圆 学习目标 理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形的性质解决有关问题． 3 . 7 正多边形与圆 新课引入 你还记得什么叫正多边形吗?说出你常见的几种正多边形？ 3 . 7 正多边形与圆 观察与思考 观察图3-58中的正多边形，思考下面的问题： (1) 它们都是轴对称图形吗?如果是，分别画出每个图形所有的对称轴并说出这些对称轴是怎样的直线. 正三角形的对称轴是三边的垂直平分线； 3 . 7 正多边形与圆 正方形的对称轴是边的垂直平分线和对角线所在的直线； 正五边形的对称轴是边的垂直平分线； 正六边形的对称轴是边的垂直平分线和相隔两个顶点的连线所在的直线. 3 . 7 正多边形与圆 (2) 正三角形有几条对称轴?正四边形、正五边形、正六边形呢?由此你能猜测正n边形有几条对称轴吗? 正三角形有3条对称轴； 正四边形、正五边形、正六边形分别有4条5条6条对称轴； 正 n 边形有 n 条对称轴. 3 . 7 正多边形与圆 (3) 通过画图，你发现正多边形的各条对称轴有怎样的特征?由此你能推出正多边形的什么性质? 正多边形的各条对称轴相交于一点. 性质：正多边形的各条对称轴相交于一点. 3 . 7 正多边形与圆 (4) 利用尺规作出一个正三角形的外接圆和内切圆，你发现正三角形的外接圆的圆心与内切圆的圆心有什么特征? 是同心圆，且圆心是各对称轴的交点. 该点到正三角形的各顶点的距离相等，到三边的距离也相等. 3 . 7 正多边形与圆 (5) 画出一个正方形，你能说出它的外接圆和内切圆的位置吗?你发现正方形的外接圆与内切圆有什么特征? 正方形的外接圆与内切圆是同心圆，圆心是各对称轴的交点. 该点到正方形的各顶点的距离相等，到四条边的距离也相等. 3 . 7 正多边形与圆 (6)由 (4)(5)你猜测正多边形都有外接圆和内切圆吗?如果有，它们的外接圆与内切圆有什么特征(图3-59)? 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，圆心是各对称轴的交点. 3 . 7 正多边形与圆 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有n条对称轴. 正多边形的各条对称轴相交于一点，这点到正多边形的各个顶点的距离相等，到各边的距离也相等. 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，圆心是各对称轴的交点. 3 . 7 正多边形与圆 如图3-60，正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距. 3 . 7 正多边形与圆 可以看出，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等.正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形的每个中心角都等于. 3 . 7 正多边形与圆 你能分别说出图 3-60 中正方形与正六边形的中心、半径、边心距和中心角的度数吗? 3 . 7 正多边形与圆 (7) 正n边形的n条半径把正n边形分成了n个怎样的图形?相应的边心距把其中每一个图形又分成了两个怎样的图形? 正n边形的n条半径把正n边形分成了n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成了两个全等的直角三角形. 3 . 7 正多边形与圆 (8) 如果正三角形的边长为 a，那么它的外接圆的半径r和内切圆的半径 d分别是多少?它们之间满足什么关系?一般地，如果正n边形的边长为 an，半径为rn，边心距为d，这三个量之间有什么关系? 根据勾股定理以 rn2＝dn2＋()2. 3 . 7 正多边形与圆 (9) 以正n边形的中心O为旋转中心，将正n边形旋转 360°，你能得到什么结论? 3 . 7 正多边形与圆 (10) 正n边形是中心对称图形吗? 当n为偶数时，正n边形是中心对称图形，它的中心O是对称中心. 当n为奇数时，正n边形不是中心对称图形. 3 . 7 正多边形与圆 例 1 一个正六边形花坛的半径为R，求花坛的边长a，周长p和面积S. 解：如图 3-61，ABCDEF 为正六边形. 连接OA，OB，作OG⊥AB，垂足为点G，则OA＝OB＝R，AB＝a. 3 . 7 正多边形与圆 在等腰三角形AOB中， ∵∠GOB＝ ∠AOB＝ × ＝30°， ∴ a ＝ 2GB ＝ 2Rsin30° ＝ R