培优专题03 几何最值类问题综合-【查漏补缺】2023年中考数学三轮冲刺过关

培优冲刺03 几何最值类问题综合 本考点是中考五星高频考点，难度中等偏上，在全国很多地市的中考试卷中多有考查。 （2022年柳州中考试卷第18题）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 　 　． 【分析】连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，利用SAS证明△EDG≌△DFM，得MF＝EG＝2，再说明△DGC≌△DMH（AAS），得CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，求出CM的长，再利用三角形三边关系可得答案． 【解答】解：方法一：连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF， 作MH⊥CD于H， ∵∠EDF＝∠GDM， ∴∠EDG＝∠FDM， ∵DE＝DF，DG＝DM， ∴△EDG≌△MDF（SAS）， ∴MF＝EG＝2， ∵∠GDC＝∠DMH，∠DCG＝∠DHM，DG＝DM， ∴△DGC≌△MDH（AAS）， ∴CG＝DH＝2，MH＝CD＝4， ∴CM＝＝2， ∵CF≥CM﹣MF， ∴CF的最小值为2﹣2， 方法二：连接AG、AE， 由方法一同理得，AE＝CF，AG＝2， ∵AE≥AG﹣EG＝2﹣2， ∴AE的最小值为2﹣2， ∴CF的最小值为2﹣2， 故答案为：2﹣2． 点评：本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，做辅助线构造全等三角形是解题的关键。 初中数学中，几何最值问题属于难度较大的一类题，问题环境可以是三角形、四边形、圆或者反比例函数、二次函数。而常用到的最值原理则有：两点之间线段最短（三点共线）、点到直线的距离垂线段最短、圆和圆外定点的最值原理等。这类题的原理虽然较为固定，但对学生的逻辑思维能力要求较高，综合型较强。 本考点是中考五星高频考点，难度较大，个别还会以压轴题出现，在全国多地市的中考试卷中多有考查。 几何最值问题基本原理 1.定点到定点——两点之间，线段最短； 数学定理联系： ①三角形两边之和＞第三边 故三点共线时PA＋PB的值最小=AB ②首尾相连的两折图、三折图 也是当三点（或四点）共线时有最小值 2. 定点到定线——点线之间，垂线段最短； 数学定理联系： ①两平行线间的距离处处相等O P H Q 故平行线之间，垂线段最短 ②圆上一点到圆外定直线上一点中，垂线段最短 （如图：则PH即为圆O上的点到直线L的最小值;QH为最大值） 3.定点到定圆——点圆之间，点心线截距最短（长） 数学定理联系： 圆和圆外定点的最值问题 （如图：则AP最小值=OA-r；AP最大值=OA+r） 【中考真题练】 1．（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（　　） A．4 B．6 C．2 D．3 2．（2022•安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP长的最小值是（　　） A． B． C．3 D． 3．（2022•泰安）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为（　　） A． B． C．﹣ D．﹣2 4．（2022•南京）直三棱柱的表面展开图如图所示，AC＝3，BC＝4，AB＝5，四边形AMNB是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点C距离最大的是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 5．（2022•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（　　） A．24 B．22 C．20 D．18 6．（2022•泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（　　） A． B．2 C．2 D．4 7．（2022•宜宾）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结