专题5.3 正方形-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学下册同步精品讲义（浙教版）

专题5.3 正方形 1.掌握正方形的判定定理与性质； 2.根据正方形的性质求角度、线段长和面积； 3、掌握中点四边形的概念和应用； 4、掌握四边形问题的综合； 知识点01 正方形的判定定理 【知识点】 正方形的判定方法： （1）有一组邻边相等的矩形是正方形； （2）有一个内角是直角的菱形是正方形； （3）对角线互相垂直的矩形是正方形； （4）对角线相等的菱形是正方形； （5）邻边相等且有一个内角是直角的平行四边形是正方形； （6）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （7）有三个内角为直角且有一组邻边相等的四边形是正方形． 【典型例题】 例1．在四边形中，．如果再添加一个条件可推出四边形是正方形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 例2．如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是______．（仅填序号） 例3．如图，在四边形中，，E是的中点，的延长线交于点F，． (1)求证：四边形是矩形； (2)当满足条件 ___________时，四边形是正方形． 【即学即练】 1．如图，在菱形中，对角线，交于点O，添加下列条件中的一个，能使菱形成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列命题是真命题的是（　　） A．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 B．一组邻边相等的平行四边形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是正方形 D．对角线平分内角的平行四边形是正方形 3．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4cm，CE=2cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点处，折痕与边BC交于点E，则BC的长为________cm． 4．四边形 的对角线 和 相交于点 ，则下列几组条件中能判定它是正方形的是____．（只需要填上序号） ① ，； ② ，，，； ③四边形 是矩形，并且 ； ④四边形 是菱形，并且 ． 5．如图，在中，，为角平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形． 知识点02 根据正方形的性质证明 【知识点】 正方形的性质： （1）正方形的四边都相等，四个角都是90°； （2）正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 【典型例题】 例1．如图，P为上任意一点，分别以为边在同侧作正方形、正方形，连接，设，，则y与x的关系为（　　） A． B． C． D． 例2．如图，在正方形中，P，Q分别为的中点，若，则大小为___________． 例3．如图，正方形中，点，分别为，边上的点，且，连接，求证：． 【即学即练】 1．如图，在正方形中，，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，点E，点F分别是对角线上的点，连接，，若，且，则的度数为（    ） A．22.5° B．25° C．30° D．35° 3．如图，正方形中，点分别在上，连接，请添加一个条件：___________，使． 4．如图，在正方形中，．E、F分别为边的中点，连接，点N、M分别为的中点，连接，则的长度为______． 5．已知是正方形对角线上一点，，垂足分别为，．． (1)求证：四边形为矩形． (2)求的长． 知识点03 利用正方形的性质求角度、线段长和面积 【典型例题】 例1．如图，P为线段上任意一点，分别以、为边在同侧作正方形、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例2．如图，已知中，，，，以为边作正方形，连接，则的面积为___． 例3．如图，点G是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点H． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【即学即练】 1．如图，在正方形的外侧作等边三角形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，边长为2的正方形的对角线相交于点，正方形绕点O旋转，若两个正方形的边长相等，则两个正方形的重合部分的面积（    ） A． B． C．1 D．2 3．如图，点G在正方形的边上，以为边在正方形外部作正方形，连接BF，P、Q分别是、的中点，连接．若，，则______． 4．如图，线段的长为5，延长到B，以为一边作正方形，连接，以为一边作正方形，设正方形的面积为，正方形的面积为，则的值为_______． 5．如图，已知是边长为1的正方形对角线上一点，且．求： (1)度数； (2)的长． 知识点04 中点四边形 【知识点】 任意四边形的中点四边形是平行四边形； 若四边形的对角线相等，则它的中点四边形是菱形； 若四边形的对角线垂直，则它的中点四边形是矩形； 若四边形的对角线垂直且相等，则它的中点四边形是正方形 【典型例题】 例1．顺次联结四边形各边中点所得的四边形是矩形，那么四边形一定是（    ） A．菱形 B．对角线相等的四边形 C．对