立体几何基础题型 练习-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

立体几何 1、 异面直线夹角问题 （1） 思路方法： ★确定不动直线→平移另一条直线至与不动直线有交点（化异面直线为共面直线）→平面角即所求异面直线夹角→将平面角放置于三角形当中，求出三角形三边长度→求取夹角大小、余弦值、正弦值 ★步骤书写注意：证明线线平行→明确异面直线夹角的平面角→求三边，明确形状→求取三角函数值 （2） 找出所求异面直线夹角的平面角 例1：在正方体中，分别为的中点，找出平面角： ①异面直线与所成角； ②异面直线与所成角； ③异面直线与所成角； 例2：如图所示，在正方体 中，分别是棱和的中点，找出异面直线和所成角。 例3：如图所示，已知正三棱锥的侧棱长和底面边长相等，点分别是的中点，找出异面直线和所成角。 （3） 题目训练 练1、如图所示，正方体中，求 （1） 所成角的大小； （2） 所成角的大小； （3） 所成角的大小； 练2、如图所示，在长方体中，已知，求： （1） 直线和所成的角； （2） 直线和所成的角。 练3、已知正三棱锥的棱长都相等，点是的中点，求与所成角的余弦值。 练4、在正四棱柱中，，求异面直线与所成角的余弦值。 2、 线面平行 （1） 思路方法： ★关键在面内找到平行线→首选构成面的现有边；其次以现有顶点为基准做辅助线→若观察长度一致利用平行四边形加以证明，反之利用中位线（等比例线段）加以证明 ★步骤书写注意三要素：面内、面外、平行 （2） 题目训练 例1、如图所示，在空间四边形ABCD中，分别是的中点，求证： 练1、点P是平行四边形外一点，点是的中点，是和的交点，求证：。 例2、如图所示，底面是平行四边形，是平面外一点，分别是，的中点，求证：。 练2、已知直三棱柱的所有棱长都相等，分别是的中点，求证：。 3、 线面垂直 （1）思路方法： ★关键在面内找到两条相交直线→首选构成面的现有边；其次以现有顶点为基准做辅助线→借助勾股定理、等边（等腰底边）三角形三线合一、线面垂直的定义三种方法证明线线垂直 ★步骤书写注意：两垂直、一相交 （2）题目训练 例1、已知为矩形，，，，是的中点，证明： 练1、在直三棱柱中，是等腰直角三角形，且，分别是的中点，求证：。 例2、 如图所示，在三棱锥中，,，点为的中点，求证：。 练2、如图所示，在中，，点是的中点，，求证：。 例3、 如图所示，,，且，点是的中点，求证： （1） ；（2）。（思路点拨：借助线面垂直进而证明线线垂直） 4、 点面距和线面距 ★点面距：（1）转化为立体图形的高（等体积法）；（2）作（找）面的垂线。 ★线面距：在线上确定一点，将线面距问题转化为点面距问题。 例1、 已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，如图示，求：（1）顶点到的距离；（2）顶点到的距离。 练1、正方体的棱长都为，求点到的距离。 例2、 如图所示，是⊙的直径，点为圆周上不与点重合的点，，且，求点到的距离。 例3、 在长方体中，棱长，求 （1） 直线到平面的距离是 ； （2） 直线到平面的距离是 ； （3） 直线到平面的距离是 ； 练3、已知正方体的棱长都为1，求直线与平面的距离。 5、 直线与平面夹角 （1） 思路方法 ★确定斜线、面、斜足（标注）→斜线上取（除斜足外）另一端点向面作垂线（或者找到面的垂线，然后过点作平行），标注垂足→三点确定直角三角形，以斜足为顶点的角为所求线面角的平面角→借助对边、斜边、邻边，得到所求三角函数值 ★步骤书写注意：证明线面垂直→明确→明确线面角的平面角→求取三角函数值 （2） 题目训练 例1、 在正方体中，求直线与所成角的余弦值。 练1、在长方体中，，求： （1） 直线与所成角的正切值； （2） 直线与所成角的正弦值。 例2、 如图所示，正三棱锥的棱长都相等，求直线与所成角的余弦值。 练2、点是四边形所在平面外一角，,,,,，与底面成角，于点，求直线与所成的角。 练3、已知直三棱柱的所有棱长都相等，分别是棱的中点。 （1）求证：； （2）求所成角的正切值。 6、 面面平行 （1）思路方法 ★①线线平行（一组相交直线）→线面平行（两组线面平行）→面面平行 ②线线平行（一组相交直线分别平行）→面面平行 ★步骤书写注意：两平行，一相交 （2）题目训练 例1、在长方体中，求证：。 法一：通过线面平行证明面面平行 法二：通过线线平行证明面面平行 例2、如图所示，在四面体中，已知点分别为的中点，证明：。 练1、如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别在上，且。求证：。 练2、如图所示，四边形是矩形，，，是上任意一点，求证：。 练3、如图，已知，点是平面外的一点(不在与之间)，直线分别