5.3.1 正方形的性质（课件）-八年级数学下册同步精品课堂（浙教版）

正方形的性质 特殊平行四边形 学习目标 壹 掌握正方形的定义和性质，理解正方形和其他特殊四边形的区别和联系。 贰 会初步利用正方形的性质来解决有关问题。 叁 进一步增强逻辑推理能力，锻炼分析问题解决问题的能力. 肆 培养严谨的推理能力以及合作探究的精神，体会逻辑推理的思维价值，感受数学活动的乐趣。 平行四边形 一组邻边相等 有一个角是90° 菱形 矩形 ？ 有一组邻边相等且一个角是90° 生活中的正方形 你有什么发现？ 各边相等， 四个角都是直角。 问题：矩形怎样变化就成为正方形了？ 正方形是特殊的矩形 AB=BC ABCD是矩形 四边形ABCD是正方形 A B C D 问题：菱形怎样变化就成为正方形了？ 正方形是特殊的菱形 ∠C=90° ABCD是菱形 四边形ABCD是正方形 A B C D 邻边相等 矩形 〃 正方形 〃 菱形 一个角是直角 正方形 ∟ 〃 〃 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系 平行四边形 矩形 菱形 正方形 正方形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系，它是中心对称吗，对称中心是谁？ 用正方形纸片折一折，回答下列问题： 正方形是轴对称图形，有4条对称轴，分别是两条对边垂直平分线以及两条对角线. 也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 正方形是特殊的四边形，它具有矩形和菱形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？ 矩形 对边平行且四条边相等 四角相等，都是90° 对角线相等且互相垂直平分 边 角 对角线 A B C D 验证结论 正方形的四个角都是直角，四边相等 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∠A=90°,AB=AD ∴四边形ABCD是矩形, 四边形ABCD是菱形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=AD=DC=BC. 几何语言： ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° AB=AD=DC=BC. 已知：如图,四边形ABCD是平行四边形， ∠A=90°, AB=AD 求证：正方形ABCD 四边相等,四个角都是直角. A B C D 验证结论 正方形的对角线相等且相互垂直平分 已知：如图,四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°, AB=AD ，对角线AC、BD相交于点O. 求证：AO=CO=BO=DO，AC⊥BD. 几何语言： ∵四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD. A B C D O 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∠A=90°,AB=AD ∴四边形ABCD是矩形, 四边形ABCD是菱形, ∴AO=CO=BO=DO，AC⊥BD. 正方形的性质 正方形的对边平行且四边相等. 正方形的对角线相等. 正方形的对角线互相垂直平分. 正方形的四个角都是直角. 角 对角线 边 对称性 正方形是轴对称图形，也是中心对称图形. 例题讲解 例：如图，有一张边长为6的正方形纸片ABCD，P是AD边上一点（不与点A、D重合），将正方形纸片沿EF折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于H，连接BP． （1）求证：∠APB＝∠BPH； 解：（1）∵PE=BE， ∴∠EBP=∠EPB． ∵∠A=∠ABC=∠EPG=90°. ∴∠APB+∠EBP=90°,∠BPH+∠EPB=90°， ∴∠APB=∠BPH． 例：如图，有一张边长为6的正方形纸片ABCD，P是AD边上一点（不与点A、D重合），将正方形纸片沿EF折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于H，连接BP． （2）若P为AD中点，求四边形EFGP的面积； 解：（2）如图1中，作FM⊥AB于M． ∵∠BEF+∠ABP=90°，∠BEF+∠EFM=90°， ∴∠ABP=∠EFM． 在△ABP和△MFE中，∵ , ∴△ABP≌△MFE， ∴ME=AP=0.5AD=3． 在Rt△AEP中，设AE=x，则EP=BE=6﹣x， ∴（6﹣x）2=x2+32，∴x=，∴CF=BM=， ∴S四边形EFGP=（CF+BE）×BC=13.5． 例：如图，有一张边长为6的正方形纸片ABCD，P是AD边上一点（不与点A、D重合），将正方形纸片沿EF折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于H，连接BP． （3）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？写出你的结论并证明． 解：△PHD的周长不变为定值12．证明如下： 如图2中，作BQ⊥PG于Q，连接BH． 由（1）可知∠APB=∠BPQ． 在△BPA和△BPQ中，∵ ，∴△BPA≌△BPQ， ∴AP=PQ，AB=BQ． ∵AB=BC，∴BC=