第二部分 微专题二 三角函数的图象与性质-新高考复习指南·数学

＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（三角、向量篇） ７５　 !"#% 三角函数的图象与性质 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２０１６·江苏卷第９题）定义在区间［０，３π］上的函数狔＝ｓｉｎ２狓的图象与狔＝ｃｏｓ狓 的图象的交点个数是　　　　　． 【解】　由ｓｉｎ２狓＝ｃｏｓ狓可得２ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓＝ｃｏｓ狓，则ｃｏｓ狓＝０或ｓｉｎ狓＝ １ ２ ．又狓∈［０，３π］， 则狓＝ π ２ ，３π ２ ，５π ２ ，或狓＝ π ６ ，５π ６ ，１３π ６ ，１７π ６ ，故所求交点个数为７． ２．（２０１９·全国Ⅰ卷理科第１１题）关于函数犳（狓）＝ｓｉｎ｜狓｜＋｜ｓｉｎ狓｜，有下述四个结 论：①犳（狓）是偶函数；②犳（狓）在区间 π ２ ，（ ）π 内单调递增；③犳（狓）在［－π，π］上有４个零 点；④犳（狓）的最大值为２． 其中所有正确结论的序号是（　　）． Ａ．①②④ Ｂ．②④ Ｃ．①④ Ｄ．①③ 【解】　方法一　画出函数犳（狓）＝ｓｉｎ｜狓｜＋｜ｓｉｎ狓｜的图象，如图所示，由图象可得①④ 正确，故选Ｃ． 方法二　由犳（狓）＝ｓｉｎ｜狓｜＋｜ｓｉｎ狓｜得犳（－狓）＝ｓｉｎ｜－狓｜＋｜ｓｉｎ（－狓）｜＝ｓｉｎ｜狓｜＋ ｜ｓｉｎ狓｜＝犳（狓），所以犳（狓）为偶函数，故①正确． 当π ２ ＜狓＜π时，犳（狓）＝２ｓｉｎ狓，它在区间 π ２ ，（ ）π 内单调递减，故②错误． 当０≤狓≤π时，犳（狓）＝２ｓｉｎ狓，它有两个零点：０，π； 新高考复习指南·数学  ７６　 当－π≤狓＜０时，犳（狓）＝ｓｉｎ（－狓）－ｓｉｎ狓＝－２ｓｉｎ狓，它有一个零点：－π． 故犳（狓）在［－π，π］上有３个零点：－π，０，π，故③错误． 当狓∈［２犽π，２犽π＋π］（犽∈犖）时，犳（狓）＝２ｓｉｎ狓； 当狓∈［２犽π＋π，２犽π＋２π］（犽∈犖）时，犳（狓）＝ｓｉｎ狓－ｓｉｎ狓＝０． 又犳（狓）为偶函数，所以犳（狓）的最大值为２，故④正确． 综上所述，①④ 正确，故选Ｃ． （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 共同点 考查的知识点主要为三角函数的图象与性质 不同点 考查的频率 考查频率比较低 每年必考 考查的难度 难度较小，以基础题形式呈现，知识点 相对单一 以基础题、中档题、压轴题等多种形式 呈现 考查的形式 主要考查三角函数的简单图象与性质 多角度考查三角函数的图象变换，三 角函数的单调性、奇偶性、对称性、值 域，三角函数的零点等内容，呈现的方 式不局限于文字和符号语言，有时还 以图形语言呈现 核心素养 逻辑推理、数学运算 逻辑推理、直观想象、数学运算 点评 对三角函数的图象与性质要求不高， 主要以基础题为主 考查三角函数的图象与性质的综合 运用，对基本知识和基本方法要求较 高，有一定的难度 二、例题导引 例１　已知曲线犆１：狔＝ｃｏｓ狓，犆２：狔＝ｓｉｎ２狓＋ ２π（ ）３ ，则下列结论正确的是（　　）． Ａ．先把犆１ 上各点的横坐标伸长到原来的２倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平 移π ６ 个单位长度，得到曲线犆２ Ｂ．先把犆１ 上各点的横坐标伸长到原来的２倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平 移π １２ 个单位长度，得到曲线犆２ Ｃ．先把犆１ 上各点的横坐标缩短到原来的 １ ２ ，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π ６ 个单位长度，得到曲线犆２ Ｄ．先把犆１ 上各点的横坐标缩短到原来的 １ ２ ，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π １２ 个单位长度，得到曲线犆２ ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（三角、向量篇） ７７　 【路径探析】　思路一是从选择项入手，逐个检验；思路二是首先将已知的两个三角函 数化为同名三角函数，再利用三角函数图象的变换进行求解． 【详细解析】　易知犆１：狔＝ｃｏｓ狓＝ｓｉｎ狓＋ π（ ）２ ，先把曲线犆１ 上各点的横坐标缩短到原 来的１ ２ ，纵坐标不变，得到函数狔＝ｓｉｎ２狓＋ π（ ）２ 的图象，再把所得函数的图象向左平移π１２ 个单位长度，可得函数狔＝ｓｉｎ２狓＋ π（ ）１２ ＋π［ ］２ ＝ｓｉｎ２狓＋ ２π（ ）３ 的图象，即曲线犆２．故选Ｄ． 【反思评析】　１．掌握三角函数图象变换的两种方法． （１）平移变换． 沿狓轴平移 由狔＝犳（狓）变为狔＝犳（狓＋φ）时，“左加右减”，即φ＞０，左移；φ＜０，右移 沿狔轴平移 由狔＝犳（狓）变为狔＝犳（狓）＋犽时，“上加下减”，即犽＞０，上移；犽＜０，下移 （２）伸缩变换． 沿狓轴伸缩 由狔＝犳（狓）变为狔＝犳（ω狓）（ω＞０）时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 １ ω 沿狔轴伸缩 由狔＝犳（狓）变为狔＝犃犳（狓）（犃＞０）时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的犃倍 ２．注意三角函数图象变换中的三类问题： （１）变换前