8.6.1直线与直线垂直课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

作业讲评 解析:连接 HN，FH，FN， 则 FH∥DD1，HN∥BD， ∴平面 FHN∥平面 B1BDD1， 只需 M∈FH，则 MN⊂平面 FHN， ∴MN∥平面 B1BDD1 答案 点 M 在线段 FH 上(或点 M 与点 H 重合) 空间中两条直线的位置关系 复习引入： 相交直线 平行直线 异面直线 在平面内,两条直线相交成四个角, 其中不大于90度的角称为它们的夹角, 用以刻画一条直线相对于另一条直线倾斜的程度, 如图. O (2)问题提出 在空间,如图所示, 正方体ABCD－EFGH中, 直线AB与HF是什么关系？直线AB与EH呢 ？ EH 与HF 相对于AB的倾斜程度是否相同呢？ 怎样来刻画这种不同? A B G F H E D C (1)回 顾 (3)解决问题 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角). a b b ′ a′ O 思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ] o o a ″ 在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上 当两条直线平行时，我们规定它们所成的角为 空间任意两直线所成的角的范围为 概念的延伸与扩充 如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b. 例1 如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D' 中。 （1）哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直？ （2）直线BA' 和CC' 所成的角是多少？ （3）直线BA' 和AC 所成的角是多少？ 解：（1）直线 与直线AA' 垂直 （2）由 可知， （或其补角）是异面直线 与 所成的角,所以异面直线 与 所成的角为450 。 典型例题 空间中的两条直线垂直同平面几何中的有何区别？ 典型例题 例1、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D' 中。 （1）哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直？ （2）直线BA' 和CC' 所成的角是多少？ （3）直线BA' 和AC 所成的角是多少？ 求异面直线所成的角的步骤是: 一作(找)：作（或找）平行线 二证：证明所作的角为所求异 面直线所成的角 三求：通过解三角形中求出该角 四答：根据定义，指出所求角的大小 规律总结 例2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小. 分析先作出角,再证明角的两边分别与两异面直线平行,最后在三角形中求角. 法一如图,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,则OG∥B1D,EF∥A1C1. ∴∠GOA1(或其补角)为异面直线DB1与EF所成的角. ∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,∴GO⊥A1C1. ∴异面直线DB1与EF所成的角为90°. O G 典型例题 例2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小. H 法二如图,连接A1D,取A1D的中点H,连接HE,则HE∥DB1, 且HE= DB1.于是∠HEF（或其补角）为异面直线DB1与EF所成的角. ∴HF2=EF2+HE2, ∴∠HEF=90°,∴异面直线DB1与EF所成的角为90°. 典型例题 例2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小. 法三如图,在原正方体的右侧补上一个全等的正方体,连接B1Q,则B1Q∥EF.于是∠DB1Q（或其补角）为异面直线DB1与EF所成的角.通过计算,不难得到:B1D2+B1Q2=DQ2,从而异面直线DB1与EF所成的角为90°. 典型例题 求两条异面直线所成的角是立体几何中的重要题型之一,而求它的常用方法是空间问题平面化. 具体地,求两条异面直线所成角的一般步骤是: ①构造:恰当地选择一个点(线段的端点或中点),用平移法构造异面直线所成的角; ②证明:证明①中所作出的角或其补角就是所求异面直线所成的角; ③计算:通过解三角形等知识,求出①中所构造的角的大小; ④作答:假如所构造的角的大小为α,若0°<α≤90°,则α即为所求异面直线所成角的大小;若90°<α<180°,则180°-α即为所求. 求异面直线所成角的一般步骤 主要有三种方法: ①直接平移法(可利用图中已有的平