1.3 相似三角形的性质课件 -2022-2023学年青岛版数学九年级上册

第1章 图形的相似 数学(QD) · 九年级上册 1 . 3 相似三角形的性质 学习目标 1. 理解相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比也等于相似比；多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 2. 能应用相似三角形的有关性质解决相关问题. 1.3 相似三角形的性质 我们知道，全等三角形的对应线段(对应边上的高、对应边上的中线对应角的平分线)相等、面积相等，那么，相似三角形对应线段具有什么性质呢?相似三角形的面积具有什么性质呢? 新课导入 1.3 相似三角形的性质 交流与发现 如图1-23，已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k. AD与A′D′分别是对应边BC与B′C′上的高. 1.3 相似三角形的性质 (1) 除△ABC∽△A′B′C′以外，图中还有几对相似三角形? 为什么? 因为△ABC∽△A′B′C′， 所以∠B ＝∠B′， 又因为∠ADB＝∠A′D′B′＝ 90°， 所以△ABD∽△A′B′D′. 同样地，△ACD∽△A′C′D′. 1.3 相似三角形的性质 (2) AD与A′D′的比与相似比k有什么关系? ＝＝k 1.3 相似三角形的性质 (3) 在△ABC与△A′B′C′中，分别作出∠A与∠A′的平分线以及 BC与B′C′上的中线，探索对应的角平分线的比、对应边上中线的比分别与相似比k之间的 关系，说明你的理由，与同学交流. E E′ 如图所示，△ABC ∽ △A′B′C′，AE与A′E′分别是对应角的平分线，AD与A′D′分别是对应边上的中线，那么＝k，＝k. 1.3 相似三角形的性质 E E′ 1.3 相似三角形的性质 E E′ 1.3 相似三角形的性质 (4) △ABC与△A′B′C′的面积的比S△ABC∶S△A′B′C′与相似比 k 有怎样的关系？ ＝ ＝ · ＝ k·k ＝ k2 1.3 相似三角形的性质 (5) 归纳(2)(3)(4)的结论能得到相似三角形的什么性质? 相似三角形对应线段的比等于相似比； 面积的比等于相似比的平方. 1.3 相似三角形的性质 例 1 如图1-24，在△ABC中，DE//BC，AD∶DB＝3∶1，△ABC的面积为48. 求△ADE的面积. 解：在△ADE和△ABC中，∠A＝∠A，由DE//BC，可知∠ADE＝∠B，根据判定定理1，△ADE∽△ABC. 1.3 相似三角形的性质 于是 ＝()2. 由 AD∶DB ＝3∶1，得AD＝3DB， 从而 AB＝AD＋DB＝4DB， 所以 ＝ ＝. 因为 S△ABC ＝ 48， 所以 ＝()2. 解得 S△ADE ＝ ×48 ＝27. 1.3 相似三角形的性质 例 2 如图 1-25，有一块锐角三角形余料ABC，它的边BC＝12 cm，高AD＝8cm. 现要用它裁出一个正方形工件，使正方形的一边在 BC上，其余的两个顶点分别在 AB，AC 上，求裁出的正方形工件的边长. 1.3 相似三角形的性质 解：在△ABC中，设裁出的正方形为PQMN. ∵PN//BC， ∴ ∠APN ＝ ∠B. ∵∠A ＝ ∠A， ∴ △APN ∽ △ABC. ∴ (相似三角形的性质定理 ). 1.3 相似三角形的性质 设 PN＝x，则 AE＝8－x. ∵ BC＝12，AD ＝8， ∴ ＝. 解得 x ＝. ∴裁出的正方形工件的边长为cm. 1.3 相似三角形的性质 挑战自我 (1) 在例2中，如果并排放置的由 2个全等的小正方形组成的矩形内接于△ABC (图1-26)，那么小正方形的边长为多少?并排放置3 个全等的小正方形呢? 1.3 相似三角形的性质 1.3 相似三角形的性质 (2) 如图1-27，如果在△ABC中并排放个这样的小正方形，你猜测小正方形的边长为多少?说明你的理由. 小正方形的边长为cm. 理由如下： 如图所示，过点 A作AD⊥BC 于点D，交PN 于点E. D E 1.3 相似三角形的性质 D E 1.3 相似三角形的性质 21 练 习 1. 两个相似三角形对应角平分线的比是 1∶4，它们对应高的比是_________，面积的比是_________. 1∶4 1∶16 1.3 相似三角形的性质 2. 两个相似三角形对应边的比是2∶3，它们面积的和为78 cm2，求较大的三角形的面积. 解：设较大的三角形的面积为 x cm2， 则较小的三角形的面积为 (78 － x) cm2. 根据题意，得 ＝ ()2， 解