专题01 三角形的证明(培优考点)-《期末压轴题》2022-2023学年八年级数学下册必考专题复习攻略（北师大版）

专题01 三角形的证明(培优考点) 【考点导航】 目录 【典型例题】 3 【考点一 利用等腰/等边三角形的性质求角度】 3 【考点二 利用等腰/等边三角形的性质求线段长度】 7 【考点三 等腰/等边三角形中的多结论问题】 13 【考点四 等腰/等边/直角三角形的证明】 19 【考点五 与垂直平分线、角平分线有关的计算问题】 30 【考点六 垂直平分线的判定、角平分线的判定】 34 【聚焦考点】 【知识点1 等腰三角形】 （1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. （2）等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°. （3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）. 【知识点2 等边三角形】 （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　 （3）等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 【知识点3 含30°角的直角三角形】 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【知识点4 线段垂直平分线的性质】 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这 条线段的垂直平分线上. 【知识点5 线段垂直平分线的判定】 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，（这样的点需要找两个） 【知识点6 角平分线的性质】 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 【知识点7 角平分线的判定】 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 【典型例题】 【考点一 利用等腰/等边三角形的性质求角度】 【例题1】（2023春·福建漳州·八年级漳州三中校联考期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的三等分角仪能三等分任意一个角，这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕点O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是________ ． 【答案】 【分析】根据等腰三角形等边对等角、三角形外角的性质以及三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形等边对等角以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键． 【变式1-1】（2023·浙江嘉兴·统考一模）若等腰的一个外角等于，则该三角形的顶角等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的一个外角等于，进行讨论可能是底角的外角是，也有可能顶角的外角是，从而求出答案． 【详解】解：①当外角是底角的外角时，底角为：， ∴顶角度数是； ②当外角是顶角的外角时，顶角为：， ∴顶角为或． 故选：D． 【点睛】主要考查了等腰三角形的性质，此题应注意进行分类讨论，非常容易忽略一种情况． 【变式1-2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考一模）在中，，点在边上，连接，若、为等腰三角形，则的度数为________． 【答案】或 【分析】根据题意，分类讨论，为等腰三角形，则①当时；②当时；③当时；图形结合分析，即可求解． 【详解】解：根据题意，如图所示， ∵， ∴， 为等腰三角形， ①当时， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴，且， ∵， ∴，解得，，即的度数为； ②如图所示，当时， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴，解得，，即的度数为； ③当时，则， ∵， ∴，即点与点重合，则与矛盾，故不存在； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形中等边对等角，三角形内角和、外角和性质是解题的关键． 【变式1-3】（2023春·七年级单元测试）在等腰三角形中，其中一内角为，腰的垂直平分线交所在的直线于点，则的度数为______． 【答案】或 【分析】根据等腰三角形的一个内角为，分类讨论等腰三角形，当等腰三角形角为：，，；当等腰三角形角为：，，；再根据垂直平分线的性质，即可． 【详解】∵等腰