19.3 矩形、菱形、正方形-【题型分类归纳】2022-2023学年八年级数学下册同步讲与练（沪科版）

19.3矩形、菱形、正方形 1. 理解矩形、菱形、正方形的定义、性质、判定定理． 2、能运用矩形、菱形、正方形的相关定理完成证明或计算． 一、矩形定义与性质 1. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，记作：矩形ABCD ． 矩形与平行四边形的关系：矩形是特殊的平行四边形 2. 矩形的性质： ① 矩形作为特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质： 对边平行且相等 ；对角相等，邻角互补 ；对角线互相平分 ② 性质1：矩形的四个角都是直角 几何语言： 四边形ABCD是矩形 C=D= ③ 性质2：矩形对角线相等 几何语言： 四边形ABCD是矩形 二、 矩形的判定 判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（定义） 几何语言： 四边形ABCD是平行四边形， 四边形ABCD是矩形 判定2：有三个角是直角的四边形是矩形 符号语言： 在四边形ABCD 中， ∴四边形ABCD是矩形 判定3：对角线相等的平行四边形是矩形． 符号语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD ， ∴四边形ABCD是矩形． 三、菱形的定义与性质 1. 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形. 几何语言： 四边形ABCD是平行四边形，且 AB=BC 四边形ABCD 是菱形 2. 矩形的性质： ① 菱形作为特殊的平行四边形，同样具有平行四边形的所有性质： 对边平行且相等 ；对角相等，邻角互补 ；对角线互相平分 ② 性质1：菱形的四条边都相等 几何语言： 四边形ABCD是菱形 AB=CD=BC=DA ③ 性质2：菱形对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 几何语言： 四边形ABCD是菱形 ，AC平分 四、菱形的周长与面积 (1) 菱形的周长：边长的4倍．如图，周长 (2) 菱形的面积： ①底乘以高．如图，面积。 ②对角线乘积的一半．如图，面积= 五、菱形的判定 判定1：一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义） 几何语言： 四边形ABCD是平行四边形， 平行四边形ABCD是菱形 判定2：四边相等的四边形是菱形 符号语言： 在四边形ABCD 中， ∴四边形ABCD是菱形 判定3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 符号语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，ACBD ， ∴平行四边形ABCD是菱形． 六、正方形的定义、性质与判定 1. 正方形定义：一组邻边相等、并且有一个角是直角的平行四边形是正方形． 这里实际包含两层含义： 1 一组邻边相等的平行四边形 → 菱形 2 有一个角是直角的平行四边形 → 矩形 2. 正方形的性质： ① 正方形是特殊的平行四边形，既是矩形，又是菱形，因此它具有前三者的所有性质． 正方形特有的性质：（1）正方形的四条边都相等 ，正方形的对边平行（2）正方形的四个角都直角（3）正方形的对角线相等且互相垂直平分，正方形的每一条对角线平分一组对角。 正方形还有一些特性： 1、 正方形是轴对称图形、4条对称轴 2、 正方形的周长：边长的4倍．如图周长; 3、 正方形的面积： 1 边长的平方，如图，面积; ②对角线平方的一半，如图，面积 ; 题型一 矩形的性质和判定 【例题1-1】矩形具有而菱形不具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．四条边都相等 C．对角线相等 D．对边平行且相等 【例题1-2】如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例题1-3】在平面直角坐标系中，长方形如图所示，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例题1-4】如图，矩形纸片中，，，将矩形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【变式1-1】下列说法错误的是（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【变式1-2】如图，在矩形中，对角线相交于点O，的度数为 ________． 【变式1-3】如图，矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于点E，，，则的长为___________. 【同步测试1-1】如图，，点在边上，，点为边上一动点，连接，与关于所在的直线对称，点，分别为，的中点，连接并延长交所在直线于点，连接，当为直角三角形时，的长为__________ 【同步测试1-2】如图，矩形中，，，点，分别，中点，动点，分别从、同时出发，沿对角线相向而行，速度均为，设运动时间为． (1)证明； (2)当时，判断四边