第21讲 比例问题-小学数学解决问题专项训练

第二十一讲 比例问题 比例, 即两个比值相等的等式。比例的内项之积等于外项之积是比例的基本性质。利用比例的基本性质,可以解比例问题。通过列比例的方法可以解答很多诸如行程、工程等应用问题。列比例解答应用题关键是要找出成比例的关系式。有些实际问题，成比例关系比较隐蔽，寻找关系式，要更加深入和细致。有时一个关系式解决不了，还要考虑列两个比例关系式。 例1 一个最简分数的分母减去一个数，分子加上同一个数，所得的新分数可约简为。这个数是多少？ 【分析】可根据分数的基本性质来解答解答此题。 【解】由题意可得：。 据此式可知，分母减去和分子加上的这个数是“2”。 例2 有一个螺旋形弹簧，在500克以内，重物的重量与 弹簧伸长的长度成正比例。在这个弹簧上，挂上120克的重物 时，弹簧的长度为12厘米; 挂上240克重物时，弹簧的长度为18厘米。 （1）什么也不挂时，弹簧的 长度应是多少厘米？ （2）当弹簧的长度为24厘 米时，挂的重物是多少克？ 【分析】画个函数图像， 【解】 （1）先算出弹簧伸长与挂上 重物的比率。即（18-12）:（240-120）= 6:120=0.05厘米/克。不加重物时，弹簧的长度应是12-0.05×120=12-6=6（厘米）或18-0.05×240=18-12=6（厘米）。 （2）（克） 答：（略） 例3 工会有会员100人，男、女会员之比为14:11。分成甲、乙、丙三个工会小组，甲小组人数与乙、丙两小组人数的和相等。甲、乙、丙三个小组的男、女会员比分别为12:13、5:3和2:1。丙小组有男会员多少人？ 【分析】可通过考察比的相互关系来解答解答此题。 【解】根据甲小组男、女会员的比为12:13，乙小组男、女会员的比为5:3=10:6，丙小组男、女会员的比为2:1=6:3，可得全部男、女会员比为（12+10+6）:（13+6+3）=28:22=14:11，这与已知比相一致。又甲组人数与乙、丙两组人数比为（12+13）:（10+6+6+3）=25: 25=1:1，符合甲组人数与乙、丙两组人数和相等的已知条件。所以，丙组有男会员有： 100×（人）。 例4 甲、乙、丙三人在一条跑道上赛跑, 当甲跑到终点时,乙离终点12米,丙离终点36米,而当乙跑到终点时,丙离终点还有28米。如果甲、乙、丙三人在赛跑中速度保持不变,这条跑道长多少米? 【分析】解答此题，关键是要求出同一时间内乙、丙两人的行程比。根据“当甲跑到终点时,乙离终点12米,丙离终点36米,而当乙跑到终点时,丙离终点还有28米”,可知乙跑12米,丙只跑36-28=8（米）,由此可得, 乙、丙两人的行程比为12: 8=3: 2。这样采用比例分配的方法来解答。 【解】由题意可得，在相同时间内乙、丙两人的行程比为. 因为“当乙跑到终点时,丙离终点还有28米”, 这28米就相当于乙、丙两人的行程比的差，即3-2=1，所以，这条跑道长是28÷1×3=28×3=84（米）。 例5 甲、乙两个工程队合修一段公路，甲队的工作效率是乙队的。两队合修6天正好完成这段公路的，余下的由乙队单独修，还要几天才能修完？ 【分析】应用比例可先计算出余下的工程量和乙队的工作效率来解答。 【解法1】根据题意，可以求得，余下的工程量是1-＝, 乙队每天修路是全程的：. 两队合修6天后，余下的工程由乙队单独修，还要： （天）才能修完。 【解法】根据题意，可以求得乙队6天完成的工作量是全程的÷（1+）=÷=×=。 那余下的1-=,由乙队单独修，还要： （天）才能修完。 例6 甲、乙两人本月收入的钱数之比是8:5，开支钱数之比是4:3。月底甲结余1368元，乙结余621元。问甲、乙两人本月收入各多少元？ 【分析】采用比例分配的方法来解答，并将两人支出比改写成与收入比相近的比。 【解】为了便于解答，可将两人支出比改写成与收入比相近的比，即4:3=8:6。根据题意,设甲本月收入的钱数为8份, 乙本月收入的钱数为5份, 把甲、乙两人的收入分别用下图的两条整线段来表示，即它们的比为8:5；甲、乙两人的支出比用两条粗线段来表示，即4:3=8:6，将甲粗线段分成8份, 左边的粗线段表示6份, 右边的粗线段表示2份；甲、乙两人的结余款分别用两条细线段来表示，甲的细线段表示1368元, 乙的细线段表示621元,将甲的细线段分