第19讲 面积问题-小学数学解决问题专项训练

第十九讲 面积问题 面积问题是几何形体问题中的重要问题。小学数学中的面积问题最基本的有求长方形（正方形）和圆的面积, 而求平行四边形、梯形、三角形、多边形以及求立方体和圆柱表的面积都可以归结为计算长方形的面积,扇形、弓形以及圆锥的表面积、侧面积等都可以归结为计算圆的面积。解答面积问题除依靠常规公式外,还需要利用替换、拼接、按比例分配等方法，既要深刻理解和熟练掌握运用解决面积问题的各种方法，又要理解面积概念与计算面积的单位及单位之间进率的涵义。 例1 长方形周长1200米，长宽各增加100米，增加的面积是多少平方米？ 【分析】此题不能采用求新的长方形面积减去原有长方形面积的差来解答，而是要通过考察新增加的面积大小来解答，这就要探讨新增加的图形的构成。 【解】新增加的图形由三部分构成，即图中的①、②、③， 而①、②、③连到一起，其宽都是 ① ② 100米，长则是原来长方形 的长与宽的和加上100米的和， 即1200÷2+100=600+100=700（米）， ③ 所以，新增加的面积为：700×100=70000（平方米）。 例2请计算图中空白部分的面积。（长度单位：厘米） 4 2 4 2 4 2 4 【分析】解答此题，可分别采用割、补的方法，具体有五种。 【解法1】如下面左图，把空白部分平均分成6个小正方形，每个小正方形的边长都是2厘米，所以，空白部分的面积是2×2×6=24（平方厘米）。 【解法2】如下面右图，把空白部分看成相等的两块，每块都是由一个边长为4厘米的正方形挖去一块边长为2厘米的小正方形得到的。所以，空白部分的面积是（4×4-2×2）×2=12×2=24（平方厘米）。 【解法3】如下面左图，把空白部分看成相等的两块，每块分成一个长4厘米、宽2厘米的长方形和一个边长2厘米的正方形。所以，空白部分的面积是（4×2+2×2）×2=12×2=24（平方厘米）。 【解法4】如下面中图，把两块空白部分平行移动，拼成一个长6厘米、宽4厘米的长方形。所以，空白部分的面积是（4+2）×4=6×4=24（平方厘米）。 【解法5】如上面右图，把原图填补成边长为6厘米的大正方形，空白部分由这个大正方形挖去3个边长2厘米的小正方形得到。所以，空白部分的面积是（4+2）×（4+2）-2×2×3=6×6-12=36-12=24（平方厘米）。 由上可知，分割与填补是计算面积时常用的方法之一。 【注】想一想，如果把其中一个正方形绕其在另一个正方形中心的顶点旋转，阴影面积变化吗？ 例3 右图ACEG是梯形，BDFG 是正方形，GE=30厘米，GB=24厘米，AC =39厘米。求梯形ACEG的面积。 F G H E 【分析】解答此题，要抓住三角形 面积与平行四边形（正方形）面积 之间的半倍关系，有多种解法。 D 【解法1】连BE, 作BH⊥GE, A B C 交 GE于H。根据BDFG是正方形，可得ΔGEB的面积是正方形面积的一半，即 24×24÷2=288（平方厘米），其底=24厘米，所以高BH=288×2÷30=19.2（厘米）。 又知ΔGEB的高就是梯形ACEG的高，所以，梯形ACEG的面积是 （30+39）×19.2÷2=69×19.2÷2=662.4（平方厘米）。 【解法2】根据BDFG是正方形，ACEG是梯形，可知GECB是平行四边形。再根据ΔGBE的面积既是正方形BDFG面积的一半，又是平行四边形GECB面积的一半，所以，平行四边形GECB的面积为24×24=576（平方厘米）。因为BC=GE=30厘米，所以，AB=39-30=9（厘米）。又ΔABG的高就是平行四边形GECB的高， 即等于576÷30=19.2（厘米）。则ΔABG的面积等于9×19.2÷2=86.4（平方厘米）。 所以梯形ACEG的面积是576+86.4=662.4（平方厘米）。 【解法3】过B作BH⊥GE, 交GE于H。因直角ΔGBH和直角ΔGEF有一对应锐角相等，所以两三角形相似，则，19.2（厘米）。根据已知梯形ACEG两底GE=30厘米，AC=39厘米，