第16讲 钟表和扶梯问题-小学数学解决问题专项训练

第十六讲 钟表和扶梯问题 钟表和扶梯问题也是典型应用问题, 在小学数学中,份量不重,解答思路与行程问题类似。解题应抓住不同指针的速度和圆形运行这一要害, 繁难的钟表和扶梯问题也就容易解决了。 一、钟表问题 钟表问题如同行程问题，时针和分针相当于行程中的甲、乙两个主体,与行程问题不同的是, 时针和分针这两个主体的速度比是不变的, 这是解答钟表问题的关键。 钟表问题也是时间问题，它涉及到的时间单位主要有日、时、分和秒，有时也会遇到星期（周）和刻。时间问题有两类，一类求的是时刻，另一类则求的是经过的时间。表达这两类问题所用的时间单位有的没有变化，如星期（周）、秒；有的有区别，表达时刻时用的是日（号）、时（点）、刻和分，表达经过的时间则要用天、小时、刻钟和分钟。使用时要区别开来。 钟表问题中有一种特殊的问题，即钟表在镜面上反射出来的时间与实际时间的关系问题。解答这类问题，必须搞清楚三个问题，即（1）镜面时间与实际时间的图像是关于钟面的中垂线为对称的图形；（2）镜面时间与实际时间的和是12小时；（3）实际增加的时间与钟面上减少的时间是相同的。搞清楚这三个问题，镜面上的时间问题就容易解答了。 例1 小明用不到1小时的时间做完作业后，发现钟面上的时针与分针恰好与他开始做作业时交换了位置。问小明做作业共花了多少时间？ 【分析】根据小明做作业用了不到1小时的时间，且开始与结束时时针与分针交换了位置，可知开始时分针在时针的左边，结束时分针在时针的右边。由此可知, 从开始到结束, 时针和分针转过的角度和正好是一个圆周。据此,解答可参照行程相遇问题的解答思路进行。 【解法1】利用钟面平均分成12个大格来解答。根据分针60分钟转1周,走12个大格,时针60分钟走1个大格,则分针每分钟走12÷60=（个）大格，时针每分钟走1÷60=（个）大格。所以，小明做作业共花的时间为12÷（+）=12÷ =12×=（分钟）。 【解法2】把钟面圆周长当着“1”来解答。根据分针60分钟转1周,时针60×12=720 （分钟）转1周, 可得分针每分钟转1÷60=，时针每分钟转1÷720=。 所以，明明做作业共花的时间为1÷（）=1÷=1×=（分钟）。 此题还可以采用求时针和分针的转速比来解答。 例2 在2点和3点之间的某一时刻，分针和时针分别在钟面上“2”字的两侧，而且与“2”字的距离相等。这一时刻应是几时几分？ 【分析】此题是钟表问题，即要根据时针和分针的位置确定时刻。根据题意，这一时刻在2点和3点之间，即2时几分，时针在“2”字下边，分针在“2”字上边，“1”字下边，根据分针与时针到“2”字的距离相等，可知从2点开始,分针与时针转过的角度和正好是钟面上2个大格, 10个小格所指的角度。据此,解答此题也可参照行程相遇问题的解答思路进行。 【解法1】利用钟面平均分成12个大格来解答。分针每分钟走12÷60= (个)大格, 时针每分钟走12÷720 =(个)大格。进而可得,从2点开始, 经过2÷(+)=2÷=2×=9(分钟), 时针和分针才呈现题中的状态，此时刻为2时9分。 【解法2】（2）利用钟面平均分成60个小格来解答。分针每分钟走60÷60=1（个）小格，时针每分钟走60÷720=（个）小格。可得, 从2点开始, 经过60÷12×2÷(1+)= 10÷=10×=9(分钟), 时针和分针才呈现题中的状态，此时刻为2时9分。 【解法3】 把钟面圆周长当着“1”来解答。根据分针60分钟转1周，时针60×12=720(分钟)转1周，可得分针每分钟转圆周的1÷60=， 时针每分钟转圆周的1÷720。可得，从2点开始, 经过（+）=÷=×=9（分钟）, 时针和分针才呈现题中的状态，此时刻为2时9分。 此题也可以采用求时针和分针的转速比来解答。 例3 晚上7点到8点之间电视里播出一部动画片，开始时，分针和时针正好成一条直线；结束时，两针正好重合。这部动画片播出了多少分钟？ 【分析】此题要抓住时针和分针的位置，由开始的直线状态变成结束时的重合状态,求经过的时间。可参照行程追击问题的思路进行解答。 【解法1】要先分别求动画片播出开始和结束这两个时刻来解答。 求开始的时刻。根据就是分针和时针正好成一条直线。根据钟面可以看成圆周360度，分针60分钟转1周，时针60×12=720(分)钟转1周，可得分针每分钟转360÷60=6（度），时针每分钟转360÷720=（度），分针比时针每分钟多转（度）。又根据时针指向7点时，分针指向“12”，可知分针落后时针360÷12×7=30×7=210（度），而当分针与时针成一直线时，可知分针落后时针360÷2=180（度），所以，从7点开始，到分针