第10讲 鸡兔同笼问题-小学数学解决问题专项训练

第十讲 鸡兔同笼问题 鸡兔同笼问题是一种特殊的应用问题。一般来讲，题中的已知条件是同笼的鸡兔总只数和腿的总条数,求的是鸡、兔各有的只数。解决这类问题一般思路是把这两种动物当着鸡或兔一种动物来计算，但在实际生活中遇到的不一定是鸡兔,而是其它一些动物,甚至是其它一些物品,也不一定只有两种,而有三种或者更多种类。不管是其它动物还是其它物品, 只要是题型与鸡兔同笼问题相似的, 都可以依照同样的方法进行解答。若题中给出的不是两个元素,而是三个甚至更多元素,可以设法把其中特点相近或相互联系紧密的两个元素先当着一个元素来处理,分步进行，这样就容易把问题解决了。 例1 100个和尚吃100个馍头,已知老和尚一人吃3个馍头,小和尚三人吃1个馍头。问：寺庙里各有多少个老和尚和小和尚？ 【分析】这是一道类似于“鸡兔同笼”问题, 100个和尚和100个馍头就相当于鸡和兔的总只数和腿的总条数,老和尚和小和尚每人吃的馍头个数就相当于每只鸡和兔腿的条数。 【解】先把100个和尚都当成老和尚,那要吃3×100=300 (个) 馍头,这比原有100个馍头多300-100=200(个)。再根据老和尚一人吃3个馍头,小和尚三人吃1个馍头,可得三个老和尚比三个小和尚多吃3×3-1=9-1=8 (个) 馍头,由此可得,小和尚有3×(200÷8)= 3×25=75(个), 老和尚有100-75=25(个)。 此题也可以先把100个和尚都当着小和尚来看待，同样可以解答出来。 例2 三种昆虫共18只，它们共有20对翅膀，116条腿。其中蜘蛛是无翅膀，有8条腿；蜻蜓是2对翅膀，有6条腿；蝉是1对翅膀，有6条腿。问：蜘蛛、蜻蜓和蝉各有几只？ 【分析】此题是一道复杂的鸡兔同笼问题, 题中讲的是三种昆虫,涉及到翅膀和腿两个元素。但根据题中给出的蜻蜓和蝉都是6条腿, 蜘蛛是8条腿,故可把蜻蜓和蝉当着一种昆虫来看待。 【解】蜘蛛的只数,即(116-6×18) ÷(8-6)= 8÷2=4(只),则蜻蜓和蝉共有18-4=14(只)。 再据蜻蜓是2对翅膀, 蝉是1对翅膀,可得蝉有(2×14-20) ÷(2-1)= 8÷1= 8(只), 蜻蜓则有14-8=6(只)。 例3 鸡和兔共有100只，鸡的腿比兔的腿少70条。鸡、兔各有多少只？ 【分析】此题与一般鸡兔同笼问题不同，这里只有鸡和兔共有的只数，没有鸡和兔腿共有的条数，而只知道鸡的腿比兔的腿少70条，但可以仿照解答一般鸡兔同笼问题的路径进行思考。 【解法1】若把100只都当成鸡，那鸡的腿比兔的腿多2×100=200（条），这要变成“鸡的腿比兔的腿少70条”，那需要把鸡的200+70=270（条）腿转换成兔的腿。根据把1只鸡转换成1只兔，就需要把2+4=6（条）鸡的腿转换成兔的腿，所以，兔的只数应为270÷6=45（只），则鸡的只数应为100-45=55（只）。 【解法2】若把100只当成100÷2=50（只）鸡和50只兔，那兔的腿比鸡的腿多（4-2）×50=2×50=100（条），这要变成“鸡的腿比兔的腿少70条”，那需要把兔的100-70=30（条）腿转换成鸡的腿。根据把1只兔转换成1只鸡，就需要把兔的2+4=6（条）腿转换成鸡的腿，所以，兔的只数应为50-30÷6=50-5=45（只），鸡的只数则为100-45=55（只）。 【解法3】根据“鸡的腿比兔的腿少70条”和每只鸡比每只兔的腿少4-2=2（条），可得70÷2=35（只）鸡的腿比35只兔的腿少70条。那其余的100-35-35=30（只）鸡和兔中，鸡的腿总条数与兔的腿总条数就应该相等，所以，鸡的只数与兔的只数之比应为4︰2=2︰1，则鸡为30÷（2+1）×2=30÷3×2=10×2=20（只），兔为30-20=10（只）。 故，兔的只数应为35+10=45（只），鸡的只数则为100-45=55（只）或35+20=55（只）。 例4 实验小学组队参加2020年“城市杯”奥林匹克竞赛。这次竞赛的项目不少于10个，实小代表队每个项目都参加了，而且每个项目只有1名选手参加。规定每个项目的金牌得5分，银牌得4分，铜牌得3分，只有前三名的成绩计入学校代表队的总分。实小的选手在这次竞赛中每个项目都至少获得铜牌。全队各个项目累计总分为37分。而且，金、银、铜牌都得到了。该校选手获得金牌、银牌、铜牌各多少枚？ 【分析】根据“竞赛的项目不少于10个，实小代表队每个项目都参加了，而且每个项目只有1名选手参加”和“实小的选手在这次竞赛中每个项目都至少获得铜牌”,又根据计分办法和实小队“项目累计总分为37分，而且，金、银、铜牌都得到了”,由3×10＋4×1＋5×1=39＞37, 可知这次竞赛的项目少于12个，那这次竞赛的项目只能为10个和11个。10个和11个就相当于鸡、兔的总只数, 总分37分