12 直线、平面垂直的判定与性质 同步复习讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

高一数学 同步复习讲义（人教A版（2019）） 12 直线、平面垂直的判定与性质 ◇ 知 识 链 接 ◇ 知识链接01 直线与平面垂直 （1）定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． （2）直线与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 知识链接02 平面与平面垂直 （1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （2）平面与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 知识链接03 常用结论 （1）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线； （2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面； （3）一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直； （4）垂直于同一个平面的两条直线平行； （5）垂直于同一条直线的两平面平行； （6）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． （7）三种垂直关系的转化 线线垂直 线面垂直 面面垂直． ◇ 典 例 剖 析 ◇ 典例剖析01 与平行、垂直有关命题的判断 （1）已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，则下列命题中正确的是(　　) A．若α⊥β，则m∥β　　　　　　 B．若α⊥β，则m⊥β C．若m∥β，则α∥β D．若m⊥β，则α⊥β （2）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中错误的是(　　) A．若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β B．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n C．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n D．若α⊥β，m⊂α，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β 典例剖析02 直线与平面垂直的判定与性质 （1）如图，已知空间四边形ABCD的边BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD于点E，作AH⊥BE于点H，求证：AH⊥平面BCD. （2）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点， 证明：①CD⊥AE； ②PD⊥平面ABE. （3）如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC. 证明：AE∥MN. （4）在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为D1D的中点，O为底面ABCD的中心，求证：B1O⊥AP. 典例剖析03 平面与平面垂直的判定与性质 （1）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．求证：平面AB1C⊥平面ABB1. （2）如图，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC． ①求证：DC⊥平面PAC； ②)求证：平面PAB⊥平面PAC． （3）如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°.侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点． 求证：①BG⊥平面PAD；②AD⊥PB． （4）在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥P－BCDE. ①若平面PDE⊥平面BCDE，求四棱锥P－BCDE的体积； ②若PB＝PC，求证：平面PDE⊥平面BCDE. 典例剖析04 垂直关系的综合应用 （1）如图，在四棱锥P­ABCD中，底面四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝a，PA⊥底面ABCD. ①当a为何值时，BD⊥平面PAC？证明你的结论； ②若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围． （2）在四棱锥P－ABCD中，△PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°. ①在AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明理由； ②若△PCD的面积为8，求四棱锥P－ABCD的体积． （3）如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形．侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD