5.7 二次函数的应用课件2022-2023学年数学青岛版九年级下册

5.7 二次函数的应用 1 1.经历数学建模的基本过程; 2.会运用二次函数求实际生活中的最值问题; 3.体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型,感受数学的应用价值. 学习目标 2 用篱爸围成一个有一边靠墙的矩形菜园,已知篱爸的长度为 60 m.应该怎样设计才使菜园的面积最大?最大面积是多少? 解:如图5-35,设矩形菜园的宽为x(m),则菜园的长为(60-2x)m,面积为y(m²). 例1 根据题意,y与x之间的函数表达式为 3 因为a =-2 <0,所以这个二次函数的图象开口向下,顶点 (15,450)是图象的最高点.这就是说,当x = 15时,y有最大值,最大值为 450. 根据问题的实际意义,自变量x可以取值的范围是 0 <x < 30.由于x = 15在这个范围内,所以二次函数 y= x(60 - 2x)的最大值,就是该实际问题的最大值. 例1 所以,当菜园的宽为15 m时,菜园面积最大,最大面积是 450 m². 4 一般地,因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低(高)点,所以当 时,二次函数y=ax2+bx+c有最小(大) 值. 小结 5 ABCD是一块边长为2m的正方形铁板,在边AB上选取一点M,分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板材.当AM的长为何值时,截取的板材面积最小? 解:设AM的长为x(m),则BM的长为(2-x)m,以AM和BM为边的两个正方形面积之和为y(m²). 例2 根据题意,y与x之间函数的表达式为 因为 a=2>0, 例2 于是,当x=1时,y有最小值,最小值是2. 根据问题的实际意义,自变量x可以的取值范围是0<x< 2,由于x = 1在这个范围内,所以二次函数y=x² +(2 -x) ²的最小值就是该实际问题的最小值. 所以,当AM=1m时,截取的板材面积最小,最小面积为2 m ². (1)列出二次函数的解析式,并根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围; (2)在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方法求出二次函数的最大值或最小值. 解决这类题目的一般步骤 总结 8 5.7 二次函数的应用(2) 9 1.复习巩固利用二次函数解决实际问题的方法、步骤; 2.经历探索体育运动和财经问题最大或最小问题的过程,进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验,感受数学模型思想和数学的应用价值; 3.通过对生活中具体实例的分析,体会数学源于生活又应用与生活的哲理. 学习目标 运动员掷一枚铅球,铅球抛出时离地面的高度为 m,抛出后,铅球行进的路线是一抛物线,行进时里离地面的最大高度是3m,此时铅球沿水平方向行进了4m.求铅球从抛出到落在地面走过的水平距离. 例3 11 解:以铅球出手点A所在铅垂线为y轴,铅垂线与地面的交点为O点,射线OA的方向为y轴正方向.铅球的落地点为B点,直线OB为x轴,射线OB的方向为x轴的正方向,x轴,y轴均匀1m为单位长度,建立如图所示的直角坐标系.由题意可知,抛物线的顶点C的坐标是(4,3). 例3 设抛物的表达式为:y=a(x-4)²+3. 这里,y表示铅球运行时离地面的高度, x表示铅球沿水平方向运行的距离. 12 例3 当x=0时,y= ,代入 y=a(x-4)²+3,得 解得 所以,抛物线的表达式为 令y=0,得 解这个一元二次方程,得 x₁=-2 , x₂ =10. 代入实际问题中检验, x₁ = -2(m)不合题意,舍去; x₂ = 10(m)符合题意.所以,铅球从抛出到落地走过的水平距离为 10 m. 13 图5-39是龙泉镇最近5年的财政总收入情况的折线统计图.图中点A,B,C,D,E的横坐标分别代表年度,纵坐标代表该年度的财政总收入(单位:亿元).试根据折线图的发展趋势,预测该镇第6年的财政总收入? 例3 解得 a=0.2 b=-0.2 c=2.6 解:设图像过A,C,D三点的二次函数表达式为y=ax²+bx+c.将这三点的坐标(1,2.6)(3,3.8)(4,5)分别代入上式,得 2.6=a×1²+b×1+c 3.8=a×3²+b×3+c 5=a×4²+b×4+c 例3 所以,经过A,C,D三点的二次函数的表达式为y=0.2x²-0.2x+2.6 当x =2时,代人y= 0.2x² - 0.2x + 2.6,得y =3,与B点纵坐标相等,这说明点 B在经过A,C,D三点的二次函数的图象上,即这条抛物线上相应的点的纵坐标反映了该镇第2年的财政收入.当x = 5时,代入y = 0.2x² - 0.2x + 2.6.得y=6.6,E点纵坐标为6.9,相差0.3(亿元),这说明点E虽不在经过A,C, D三点的二次函数的图象上,但比较接近,即这条抛物线上相应的点的纵坐标可以近似反映该镇第5年的财政收入. 例3 由此可知,二次函数y=0.2x²-