1.2.3 一元二次方程的解法——配方法的应用 重难点专项练习（四大题型）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

1.2.3一元二次方程的解法——配方法的应用 分层练习 考察题型一 最值问题 【单变量配方求最值】 1．已知是实数，则多项式的最小值为　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【详解】解： ． ， ， 的最小值是1， 即的最小值为1． 故本题选：． 2．已知，，下列结论正确的是　　 A．的最大值是0 B．的最小值是 C．当时，为正数 D．当时，为负数 【详解】解：， 的最小值为：， 当时，， 解得：， ， ． 故本题选：． 3．在求解代数式的最值（最大值或最小值）时，老师给出以下解法：解：原式，无论取何值，，代数式，即当时，代数式有最小值为4．仿照上述思路，则代数式的最值为　　 A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【详解】解：由题意可得：原式 ， 无论取何值，，即， 代数式，即当时，代数式有最大值． 故本题选：． 【双变量先消元变单变量，再配方求最值】 1．如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为和的两个圆，当时，剩下的钢板面积的最大值是　　 A． B． C． D． 【详解】解：， ，则， 根据图形可得：剩下的钢板面积 ， ，， ，即剩下的钢板面积， 剩下的钢板面积的最大值为，只有选项符合． 故本题选：． 2．关于的一元二次方程新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是　　 A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， 即， ，解得：， ， 则代数式能取的最大值是2020． 故本题选：． 【双变量双配方求最值】 1．不论，取什么实数，代数式的值　　 A．不小于2 B．不小于7 C．为任何实数 D．可能为负数 【详解】解：原式 ， ，， ． 故本题选：． 2．如果多项式，则的最小值是　　． 【详解】解： ， ，， 的最小值是2015． 故本题答案为：2015． 3．已知多项式，多项式． ①若多项式是完全平方式，则或； ②； ③若，，则； ④代数式的最小值为2022． 以上结论正确的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】解：①根据题意得：， ，解得：或，故①正确； ② ， ，， ， ，故②正确； ③，， ， 由②可知，， ，故③错误； ④ ， 又，， ， 最小值为，故④错误． 故本题选：． 【配方结合整体思想求最值】 1．若为任意实数，且，则的最大值为　　 A．135 B．144 C．168 D．200 【详解】解： ， 的最大值为144． 故本题选：． 2．已知实数，满足，则的最小值为　　 A．8 B．5 C．4 D．0 【详解】解：， ， ， ， ，， ， 即的最小值为8． 故本题选：． 3．已知实数，满足，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【详解】解：， ， ， （当时，取等号）， ， （当时，取等号）， ， ， ， ， 即的最小值为． 故本题选：． 【综合大题】 1．我们知道：； ，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题： （1）探究：当取不同的实数时，求代数式的最小值． （2）应用：如图．已知线段，是上的一个动点，设，以为一边作正方形，再以、为一组邻边作长方形．问：当点在上运动时，长方形的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由． 【详解】解：（1）， 当时，代数式存在最小值为； （2）设长方形的面积为， 根据题意得：， 则时，存在最大值，最大值为9． 2．阅读下列材料，并利用材料中使用的方法解决问题： 在学习完全平方公式时，老师提出了这样一个问题：同学们，你们能判断代数式的最小值吗？小明作出了如下的回答： 在老师所给的代数式中，隐藏着一个完全平方式，我可以把它找出来：， 因为完全平方式是非负的，所以它一定大于等于0，余下的1为常数，所以有， 所以的最小值是1，当且仅当即时取得最小值，其中，我们将代数式改写为一个含有完全平方式的代数式的方法称为配方，利用配方求解下列问题： （1）记，求的最小值，并说明取何值时最小； （2）已知，求、的值； （3）记，求的最小值，并说明、取何值时最小． 【详解】解：（1）， ， 时，取得最小值4， 即时，最小； （2）， ， ，， ，； （3） ， 当，时，取得最小值3， 即当，时，最小． 3．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值　　； 【拓展应用】（2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 【详解】解：（1） ， 无论取何实数，都有