2023年九年级中考数学二轮复习之线段最值（将军饮马模型）

课前回顾：轴 对 称 的 性 质 1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分 2.对应线段相等 3.对应角相等 利用轴对称性质作图： 关键：找关键点。 步骤： ①垂：过关键点作对称轴的垂线； ②延：延长垂线段一倍并截取； ③连：顺次连接各关键点 课前练习1： 如图，请你作出点A关于直线l的对称点A’。 课前练习2： 如图，OC平分∠AOB，P是OB上的任意一点，请你作出点P关于OC的对称点P’。 课前练习3： 如图，已知射线OC和OB。点P是射线OB上的任意一点，请你作出点P关于射线OC的对称点P’。并思考，当点P在射线OB上运动时，点P’的运动轨迹是什么？ 线段的最值问题 线段的对称最值题型（将军饮马） 中考总复习—— 平面几何中涉及最值问题的相关定理有： 两点之间 ,______最短 点和直线之间___________最短 翻折运动————轴对称{ 线段  垂线段  对应线段相等 对应角相等 对应三角形全等 垂直平分线 三个相等 一个垂直平分 将军饮马典故： 唐代诗人李颀在《古从军行》 中说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”． 例1 一位将军骑马从营地A出发，先让马在浅水河喝水，再回到河对岸的城堡B处。问将军怎么走路程最短？ B A P l 依据：两点间距离最短 例1 一位将军骑马从营地A出发，先让马在小河边喝水，再回到河同侧的城堡B处。问将军怎么走路程最短？ 解： (1)做点B关于直线l的对称点B' (2)连接B’A，交直线MN于点P ∴点P就是所求的点 技巧：选定点，做对称；两定点，选方便；对称轴，看动点 两定一动 B A B‘ P 模型： l 跟踪训练 1. 如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AB边上一点，且AE＝2，则线段EF＋CF的最小值为________． 2.连接BF,线段EF＋BF的最小值为_______． 3.如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为___________。 例2 一个将军从驻地A出发，先牵马去草地OM吃草，再牵马去河边ON喝水，最后回到驻地A。问将军怎么走路程最短？ O M N A 在OM上求一点P，在ON上求一点Q，使△APQ的周长最小 解： (1)做点A关于直线OM、ON的对称 点A'、A'' (2)连接A'、A''，交直线OM于点P，交直线ON于点Q ∴先到P点吃草，再到Q点喝水，再回驻地A路程最短 技巧：一定点，两动点，都对称，再相连 一定两动（三线段一线） O M N A A’ A‘’ P Q 例2 一个将军从驻地A出发，先牵马去草地OM吃草，再牵马去河边喝水，最后回到驻地A。问将军怎么走路程最短？ 模型： 变式：将军从驻地A出发，先牵马去草地OM吃草，再牵马去河边ON喝水，问将军怎么走路程最短？ O M N A 在OM上求一点P，在ON上求一点Q，使AP+PQ最小 4.如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，P为∠AOB内一点，且OP＝6，则△PMN周长的最小值为________． 例3： 如图，M为矩形ABCD对角线BD上一动点，N为边BC上的动点，求点M和N使MN+MC的值最小。 解： 作点C关于BD的对称点C' 过点C'作C'N⊥BC于点N，交BD于点M。 则此时的MN+MC最小。 A B C D C‘ M N ┓ 技巧：三个点，一条线，垂线段，是最短 一定两动（动定共线） 模型： 5.如图，在锐角△ABC中，AB= ，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则线段BM+MN的最小值为________． 例4 如图A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到草地MN某一处去牧马，再到河边ON饮马，然后回到帐篷。请你帮助确定这一天的最短距离。 分别在OM和ON上求点P、Q，使AP+PQ+BQ的周长最小 解： (1)做点A关于OM的对称点A'；做点B关于ON的对称点B' (2)连接A'、B'，交草地于点P，交小河于点Q 此时AP、PQ、QB的和为最短距离 M O 技巧：两定点，两动点，看路径，再对称 N A‘ B‘ P Q 模型： 两定两动 分别在OM和ON上求点P、Q，使AP+PQ+BQ的周长最小 6.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2，点G、H分别是边BC、CD上的动点，则四边形EFGH周长的最小值为________． 跟踪训练 将军饮马三字经 将饮马 做对称，选定点；