第一章第03讲_含参的一元二次方程(教师版)　2022—2023学年苏科版数学九年级上册

教师辅导讲义 [教师版] 学员姓名 年 级 辅导科目 学科教师 上课时间 知识图谱 含参的一元二次方程 知识精讲 一．含参数的一元二次方程 利用解的情况求参数的取值 关于x的一元二次方程k2x2－（2k＋1）x＋1＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围 （1）已知是一元二次方程 ，则k2≠0 （2）有两个不相等的实数根， 则△＝（2k＋1）2－4k2＞0， 解得且k≠0 解含参一元二次方程 求解含参一元二次方程 （1）常用因式分解法 （2）公式法 解析：已知方程为一元二次方程，则m≠0 （1）因式分解法 ， （2）公式法 参数未明确取值需分类讨论 解方程： mx2-（2m＋1）x＋m＋1＝0 （1）当m＝0时，为一元一次方程， -x+1=0，解得x＝1 （2）当m≠0时，为一元二次方程， ，x2＝1 二．一元二次方程的整数根 如果一元二次方程有整数根，则需要满足以下条件： 整数根 （1）≥0 （2） 2a能够被整除 方程（m≠0）的两个实数根都是整数，求整数m的值 解析：由求根公式，得 ∴， ∵能被2整除的m值有±1，±2 能被1整除的m值有±1， ∴或 易错点：注意题目中对参数以及根的限制条件是整数，正整数，负整数，还是有理数 三点剖析 一．考点：含参的一元二次方程． 二．重难点：含参的一元二次方程判别式与解的关系，含参一元二次方程的特殊解问题． 三．易错点： 1．含参一元二次方程如果参数没有明确取值范围必须要分类讨论； 2．含参一元二次方程的特殊解问题要注意参数是整数，正整数，负整数，还是有理数等限制条件． 判别式与解的关系 例题1、 解关于的方程： 【答案】 当a=0时，方程无解；a≠0时，， 【解析】 分类讨论，当时，原方程无解；当时，原方程是一元二次方程，解得， 例题2、 已知，，为正数，若二次方程有两个实数根，那么方程的根的情况是（ ） A.有两个不相等的正实数根 B.有两个异号的实数根 C.有两个不相等的负实数根 D.不一定有实数根 【答案】 C 【解析】 的， ∵二次方程有两个实数根，∴，∴， ∴ ∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正．故有两个负根．故选C． 例题3、 设方程只有个不相等的实数根，求的取值和相应的个根． 【答案】 ，相应求得方程根为，；，． 【解析】 方程等价于以下两个方程：①， ②，两方程无相同的根，由于原方程只有3个不相等的实根，故必有且只有方程①或②有重根，，，由于，故只可能是，即，相应求得方程根为，；，． 随练1、 解关于的方程： 【答案】 当时，方程为一元一次方程的解为或； 当时，方程为一元二次方程，，， 【解析】 化为一般式： 当时，方程为一元一次方程的解为或； 当时，方程为一元二次方程，，， 随练2、 已知，，判断关于的方程的根的情况，并给出必要的说明？ 【答案】 见解析 【解析】 （1）当时，，从而，，， ∴，即，原方程必有两个不等实根； （2）当时，由，得； （3）当时，由，得，． 综合⑴、⑵、⑶，得关于的方程总有两个不等的实根 随练3、 当在什么范围内取值，方程有且只有两相异实根？ 【答案】 或 【解析】 由题意知． 当时，，得，．符合题意． 当时，原方程化为，． 在第一个方程中，因为它的判别式，所以第一个方程有两个不同的实根．因此由题意知，第二条方程要么无实数解，要么它的解与第一条方程的解相同． 显然若两条方程有相同的解，则只有，而，所以，第二条方程无实数解，知，即．所以的取值范围是或 特殊解问题 例题1、 已知关于x的方程（m≠0） （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根都是整数，求整数m的值． 【答案】 （1）见解析（2）或 【解析】 （1）证明：∵ m≠0， ∴ 是关于x的一元二次方程． ∵，……………………………………………1分 =9＞0. ∴ 方程总有两个不相等的实数根．………………………………2分 （2）解：由求根公式，得 ． ∴，.……………………………………………………4分 ∵方程的两个实数根都是整数，且m是整数， ∴或．………………………………………………………5分 例题2、 求出所有正整数，使方程至少有一个整数根． 【答案】 ，，， 【解析】 由原方程知，不妨将方程整理成关于的一元一次方程，得（因为为正整数），解得，因此只能取，，，，，，分别代入的表达式得所求的正整数的值是，，， 例题3、 关于的二次方程的两根都是整数，求满足条件的所有实数的值 【答案】 【解析】 由可知， 故，(由题意可知，且) ， 于是有，，， 两式相减可得， 故，从而可知，，或，或，或 又