第03讲 二次函数与一元二次方程-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第03讲 二次函数与一元二次方程 【知识梳理】 一．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 二．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 三．二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 【考点剖析】 一．抛物线与x轴的交点（共12小题） 1．（2022秋•庐阳区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根的和为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．不能确定 2．（2022秋•庐阳区月考）对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向下 B．顶点坐标是（2，1） C．对称轴是直线x＝﹣2 D．与x轴有两个交点 3．（2021秋•利辛县期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+n如图所示，方程ax2+（b﹣m）x+（c﹣n）＝0的解为（　　） A．x1＝0，x2＝3 B．x1＝﹣3，x2＝3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝0 4．（2022秋•潜山市期中）已知二次函数y＝kx2+2x﹣1与x轴有交点，则k的取值范围　 　． 5．（2022秋•霍邱县期中）已知抛物线y＝﹣2x2+4x+6与x轴交于A、B两点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）求线段AB的长． 6．（2022秋•安徽月考）抛物线y1＝ax2+bx﹣3（x≤m）的对称轴为直线x＝1，与x轴交于A（﹣1，0）和B（m，0），与y轴交于点C，将y1沿直线x＝m作对称，得到抛物线y2． （1）求抛物线y2的解析式（写出自变量的取值范围）； （2）直线BC与y2的另一个交点D，E，F分别为线段BC，BD上任意一点（不与B，C，D重合），作EM∥y轴，FN∥y轴，分别交y1，y2于点M，N，设EM的最大值为d1，FN的最大值为d2，求证：． 7．（2022秋•庐阳区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m﹣3，其中m为实数． （1）求证：不论x为何值时，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点； （2）设这个二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）和B（x2，0），且，求这个二次函数的解析式． 8．（2022秋•涡阳县校级月考）如果二次函数y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y2＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝2，b1+b2＝3，c1+c2＝4，称这两个函数互为“系数相关函数”． （1）函数y＝﹣x2+5x﹣2的“系数相关函数”为 　 　； （2）若函数y＝x2+mx+n与y＝x2+3nx+m+5互“系数相关函数”，求（m+n）2023的值； （3）证明方程y1＝0的实数解不是方程y2＝0的实数解． 9．（2022秋•蚌山区月考）已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点． （1）求A、B、C点的坐标； （2）判断△ABC的形状，并求其面积． 10．（2022•濉溪县校级开学）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（x1，0）、B（x2，0），与y轴交点为C，且x1+x2＝4，＝． （1）求此抛物线的解析式； （2）求△ABC的面积． 11．（2023•景洪市模拟）若二次函数y＝2x2﹣x+k的图象与x轴有两个公共点，则k的取值范围是 　 　．