第二十三章 圆专题复习 学案 2022--2023学年人教版九年级数学上册

圆专题复习 一、圆的相关概念 1.圆的定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径。 2.圆的几何表示:以点O为圆心的圆记作“☉O”,读作“圆O” 二、与圆有关的定义 1.弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦 2.直径:经过圆心的弦叫做直径。 3.半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两段弧,每条弧都叫半圆 4.孤:圆上任意两点间的部分叫做圆孤,简称弧,用符号:“”来表示 (1)优孤:大于半圆的孤(用三个大写字母表示) (2)劣孤:小于半圆的孤(用两个大写字母表示) 三、圆周角定理推论 1.圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2.圆周角定理:一条孤所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1:同弧或等孤所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。 推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,则这个三角形是直角三角形。 4、 圆的性质 1.点和圆的位置关系(其中r是圆的半径,d是点p到圆心的距离) (1)d﹤r点p在☉O内 (2)d=r点p在☉O上 (3)d﹥r点p在☉O外 2.点和圆的位置关系 (1)相交:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫 做圆的割线,公共点叫做交点; (2)相切:直线和圆有唯一公共点时,直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线, (3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。 如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么: 直线l与OO相交d<r 直线l与⊙O相切d=r 直线l与⊙O相离d>r 3.圆和圆的位置关系 (1)圆心距:两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。 (2)相离:如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,相离分为外离和 内含两种。 (3)相切:如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,相切分为外切和内切两种。 (4)相交:如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交。 具体如下:设两圆的半径分别为R和r,圆心距为d,那么 两圆外离d>R+r 两圆外切d=R+r 两圆相交R-r<d<R+r(R>r) 两圆内切d=R-r(R>r) 两圆内含d<R-r(R>r) (5)两圆相切、相交的重要性质:如果两圆相切,那么切点一定在连心线上,它们是轴对称图形,对称轴是两圆的连心线;相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 4.过三点的圆 (1)过三点的圆:不在同一直线上的三个点确定一个圆。 (2)三角形的外接圆:过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 (3)三角形的外心:三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它叫做这个三角形的外心。 (4)圆内接四边形性质:圆内接四边形对角互补。 5.切线的判定和性质 (1)切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 (2)切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。 6.切线长定埋 (1)切线长:在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段 的长叫做这点到圆的切线长。 (2)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 7.三角形的内切圆 (1)三角形的内切圆:与三角形的各边都相切的圆叫三角形的内切圆。 (2)三角形的内心:三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点,它叫做三角形的内心。 8.正多边形和圆 (1)正多边形的定义:各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。 (2)正多边形和圆的关系:只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以做出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆。 (3)正多边形的中心:正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 (4)正多边形的半径:正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 (5)正多边形的边心距:正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多 边形的边心距。 (6)中心角:正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 (7)正多边形的轴对称性:正多边形都是轴对图形。一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心。 (8)正多边形的中心对称性:边数为偶数的正多边形是中心对称图形,它的对称中心是正多边形的中心。 (9)正多边形的画法:先用量角器或尺规等分圆,再做正多边形。 9. 弦切角和弦切角定理 (1)弦切角:圆的切线与过切点的弦所成的角 (2)弦切角定理:弦切角等于所夹弧所对的圆周角 五、与圆有关的公式 1.圆的周长: 2.弧长公式: 3.扇形面积: 4.圆锥的侧面积: 5.圆的表面积: 6球体的体积: 六、知识再现 1.选择题 (1) 如图,是的直经