2023年中考数学专题复习：03讲几何探究问题

中考数学专题复习 第三讲几何探究问题 【考点分析】 几何探究问题是中考热点题型,各地的中考数学试题常把几何探究问题作为中考的压轴题出现。这是中考对几何推理与证明能力考查的体现,旨在提高学生对图形及性质的认识,训练学生的推理能力,所以解题时要注意演绎推理与合情推理的结合。 【知识归纳】 几何探究问题可分为：利用三角形的性质进行相关的探索与证明、三角形和四边形的综合探索与证明以及几何动态问题等。几何探究问题考查知识全面,综合性强；它把代数知识、几何知识有机结合起来,渗透数形结合思想,考查考生分析问题的能力、逻辑思维推理能力。 几何探究问题的解题思路: 1.找特征或模型:如中点、特殊角、折叠、相似结构、三线合一、三角形面积等; 2.找思路:借助问与问之间的联系,寻找条件和思路; 3.照搬:照搬前一问的方法和思路解决问题,如照搬字母、照搬辅助线、照搬全等、照搬相似等; 4.找结构:寻找不变的结构,利用不变结构的特征解决问题；常见的不变结构及方法:有直角,作垂线,找全等或相似;有中点,作倍长,通过全等转移边和角;有平行,找相似,转比例等。 【题型解析】 题型1:与全等三角形有关的探究 例题：（2022•湖州）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，a＞b．记△ABC的面积为S． （1）如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为S1，正方形BGFC的面积为S2． ①若S1＝9，S2＝16，求S的值； ②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证：S2﹣S1＝2S． （2）如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积为S1，等边三角形CBE的面积为S2．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索S2﹣S1与S之间的等量关系，并说明理由． 【分析】（1）①由S1＝9，S2＝16，求得b＝3，a＝4，进而求出S＝ab＝6； ②先证明△AFN∽△NAB，得出，进而得出ab+b2＝a2，即可证明S2﹣S1＝2S； （2）先证明△ABC≌△FBE（SAS），得出AC＝FE＝b，∠FEB＝∠ACB＝90°，求出∠FEC＝30°，利用三角函数得出b＝a，进而得出S＝ab＝a2，利由等边三角形的性质求出，，通过计算得出S2﹣S1＝×，即可证明S2﹣S1＝S． 【解答】（1）①解：∵S1＝9，S2＝16， ∴b＝3，a＝4， ∵∠ACB＝90°， ∴S＝ab＝＝6； ②证明：由题意得：∠FAN＝∠ANB＝90°， ∴∠FAH+∠NAB＝90°， ∵FH⊥AB， ∴∠FAH+∠AFN＝90°， ∴∠AFN＝∠NAB， ∴△AFN∽△NAB， ∴，即， ∴ab+b2＝a2， ∴2S+S1＝S2， ∴S2﹣S1＝2S； （2）解：S2﹣S1＝S， 理由：∵△ABF和△CBE都是等边三角形， ∴AB＝FB，CB＝EB，∠ABF＝∠CBE＝60°， ∴∠ABF﹣∠CBF＝∠CBE﹣∠CBF， ∴∠ABC＝∠FBE， 在△ABC和△FBE中， ， ∴△ABC≌△FBE（SAS）， ∴AC＝FE＝b，∠FEB＝∠ACB＝90°， ∴∠FEC＝90°﹣60°＝30°， ∵EF⊥CF，CE＝BC＝a， ∴sin∠FEC＝，即sin30°＝， ∴b＝asin30°＝a， ∴S＝ab＝a2， ∵△ACD和△CBE都是等边三角形， ∴，， ∴S2﹣S1＝＝﹣＝＝×， ∴S2﹣S1＝S． 【方法指导】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，掌握正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 题型2:与相似三角形有关的探究 例题: （2022•嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1：也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”． （1）你赞同他的作法吗？请说明理由． （2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB． ①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数． ②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由． 【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明，再利用AC＝AP，