3.3.2 抛物线的简单几何性质（第2课时） 限时作业——2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

高二数学上学期第37次限时作业(12.12)——重点班 作业范围：抛物线的几何性质(第2课时)；作业时间：40分钟；命题人：李建华 一、单选题(每题8分，共计40分) 1．为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为 A．2 B． C． D．4 2．已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 A． B． C． D． 3．设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为 A．或 B．或 C．或 D．或 4．已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则 A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为 A． B． C． D． 二、多选题(10分) 6. 经过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，设，则下列说法中正确的是 A．当与轴垂直时，最小 B． C．以弦AB为直径的圆与直线相离 D． 三、填空题(每题8分，共计32分) 7．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点． 若为的中点，则_______． 8．已知是抛物线的焦点弦，为该抛物线准线上的动点，则的最小值为_______. 9. 如图所示，正方形和正方形，原点为线段的中点，抛物线经过两点，则直线的斜率为_______. 10. 如图，已知抛物线的焦点为，直线过点且依次交抛物线及圆于四点，则的最小值为_______. 四、解答题(18分) 11. 已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为. (I) 若，求的方程； (II) 若，求. 试卷第2页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 高二数学上学期第37次限时作业(12.12)——重点班答案 1．A 【详解】因为抛物线的标准方程为，所以. 根据焦半径坐标公式：，所以. 代入抛物线方程，得：. 所以的面积. 2．B 【详解】 记弦的中点为，设. 则，两式相减得：，则. 由题意，则. 所以抛物线的标准方程为：. 故抛物线的准线方程为：. 【点评】 点差法是解决中点弦问题的最佳方法. 3．C 【详解】 以抛物线焦半径为直径的圆与轴相切，由题意点为切点. 圆的直径，故圆的半径. 所以. 又，根据线段中点的坐标公式容易得到：. 因为点在抛物线上，所以. 解得：或. 则的方程为或. 4．D 【详解】 因为直线经过轴上的定点，故反设直线方程为：. 联立 设. 由韦达定理：，. 根据焦半径坐标公式：，，则. 又，，所以，显然，所以. 由，可得：，. 所以. ，，故. 所以. 5．A 【详解】 记圆的半径为，因为，所以. 又直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为. 故圆心到定点的距离等于圆心到定直线的距离，又定点不在定直线上，所以圆心的轨迹是：以点为焦点，直线为准线的抛物线. 抛物线上到焦点距离最小的点是其顶点，最小距离为. (为焦准距) 焦点到准线的距离为. 所以圆的半径的最小值为. 故圆面积的最小值为. 6．AD 【详解】 当与轴垂直时，为抛物线的通径，通径是最短的焦点弦，故选项A正确； 记直线的倾斜角为，则，故选项B错误； 以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切，故选项C错误； 设直线的方程为： 联立 由韦达定理：，故选项D正确. 7. 6 取中点，连接. 则为的中位线，所以. ，所以. 由焦半径的坐标公式：. 所以. 8. 0 解法一(通性通法)：设直线的方程为：. 联立 设，由韦达定理：，. 显然抛物线的准线方程为：. 设，则，. 所以 当时，取得最小值0. 解法二(巧解)：以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切，当点为切点时， (直径所对的圆周角为直角)；当点不是切点时，点在圆外，故为锐角，所以. 综上，的最小值为0. 9. 解：设正方形和正方形的边长分别为. 由题意可知，，由这两点都在抛物线上，可得： 等式两边同除以，则. 令，则 (负值舍去) 因为，，所以. 10. 11 解： 由二级结论：. 又， 所以，所以. 当且仅当时取等号. 所以的最小值为11. 11. (1) (2) 解：(I) 设 由抛物线的定义： 设直线的方程为： 联立 根据韦达定理： 即直线的方程为： (II) 由于题干条件“”宜翻译为：. 故直线的方程宜设为： 联立 根据韦达定理： 解得：. 则. ，则. 答案第4页，共4页 答案第3页，共4页 $