2023年九年级中考数学复习：几何证明题（培优篇）

2023年中考数学复习：几何证明题（培优篇） 一、模型： 手拉手： 例题： 1.（1）问题背景: 如图①，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACF. （2）尝试应用：如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，求的值. （3）拓展创新：如图③，D是△ABC内一点，∠BAD=∠CBD=30°，∠BDC=90°，AB=4，AC=2，求AD的长. 2.如图所示，中，，，点为上一点，过点作直线的垂线，垂足为，连接，过点作的垂线交于点． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，连接，且，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，为上一点，连接，若，，求的长． 3.【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现：①的度数为 ；②线段、之间的数量关系为 ； 【类比探究】 （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断 的度数以及线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，，，，，则的值为 ． 一线三等角： 1.【感知】（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=． 【探究】（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH． 【拓展】（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG． 2.如图，在中，，点M是的中点，点D在上，AE⊥CF,BF⊥CF，垂足分别为E，F，连接．连接交于点G． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求线段长． 半角模型： 1.学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题： “如图1，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE＋DF．” 小明同学的思路：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°． 把△ABE绕点A逆时针旋转到的位置，然后证明，从而可得． ，从而使问题得证． (1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题： 如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，，直接写出EF，BE，DF之间的数量关系． (2)【应用】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，，求证：EF＝BE＋DF． (3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC是的内接四边形，BC是直径，AB＝AC，PB=3,PC=2,请直接写出AP的长度． 2.如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系． （1）思路梳理 将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为__； （2）类比引申 如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明． （3）联想拓展 如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为________________. 十字架模型： 1.【问题探究】如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，求证：． 【知识迁移】如图2，在矩形中，，，点在边上，点、分别在边、上，且，求的值． 【拓展应用】如图3，在平行四边形中，，，点分别在边上，点、分别在边、上，当与的度数之间满足什么数量关系时，有？试写出其数量关系，并说明理由． 2.正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G． （1）如图1，求证AE⊥BF； （2）如图2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：AN+CN＝BN； （3）在（2）的条件下，若tan∠AEB＝3，S△CHN＝，求AB的长 圆的基本构图： 弦切角AA相似： 10．如图，在中，点是直径延长线上的一点，点是直径上方圆上的一点，连接，使得． (1)求证：是的切线； (2)若平分，且分别交，于点，，当时，求的长； (3)若，，求的长． 以直径为腰做等腰三角形： 如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点