2.2基本不等式教学设计-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

祁东县第三届中小学青年教师教学能手竞赛 教学设计表 学段： 高中 科 目 ：数学 教学设计标题：基本不等式 学情分析：基本不等式是在学生已经学习了等式性质与不等式性质，并且具备了一定的推理论证能力的基础上进行的。基本不等式是几何平均数不大于算术平均数的最简单和最基本的情形。基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值和最小值。在理解和应用基本不等式的过程中，体现了数形结合、数学建模等数学思想。通过该内容的学习，不仅能进一步发展学生的推理论证能力，数学运算和数学建模的数学素养，而且能使学生把这些认识迁移到后继的学习中去，为以后学习一元二次不等式等打好基础。 教学目标： 1.通过对赵爽勾股圆方图的观察分析，抽象概括出基本不等式；理解基本不等式的证明方法； 2.结合具体实例，会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题； 3.进一步发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养和观察分析、抽象概括的能力。 教学重难点： 重点：基本不等式的内容、意义，应用基本不等式解决简单的最大（小）值问题； 难点：基本不等式的证明过程。 教学过程： 一、复习引入 通过学生回顾以及教师讲解，了解赵爽勾股圆方图蕴含的丰富的数学知识。 设计意图：通过学生耳熟能详的我国古代伟大数学家赵爽及其勾股圆方图开始本节课的学习，活泼生动，激发学生的学习兴趣，展现中国古代数学成就，厚植爱国主义情怀，增强民族自信。 2、 基本不等式 问题1：如图是我们抽象出来的在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？令 你能得到一个怎样的不等式？ （1）四个直角三角形的面积( 相等 )； （2）直角三角形的直角边（不相等）； （3）大正方形的面积（大于）4个直角三角形的面积和。 重要不等式： 当且仅当时，等号成立。 问题2：如果 我们用 分别代替上式中的能得到什么结论？ 基本不等式： 当且仅当时，等号成立。 设计意图：通过对赵爽勾股圆方图的观察分析，抽象概括出基本不等式。 3、 基本不等式的几何意义 问题：如图 ，AB是圆的直径， O为圆心，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE ，连接AD,BD.你能利用这个图形，得出的几何解释吗？ ①如何用a, b表示OD? OD=______ ②如何用a, b表示CD? CD=______ ③OD与CD的大小关系怎样? OD_____CD 几何意义：半径不小于弦长的一半 故当a>0,b>0 正数a，b的几何平均数 正数a，b的算术平均数 当且仅当a=b时等号成立 设计意图：1.从几何图形的角度，借助几何图形，通过数形结合来探究基本不等式的几何解释； 2.培养学生的数学表达能力，落实逻辑推理的数学核心素养。 三、例题讲解 例1：.《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理，定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的的直径，点C是AB上一点（不同于A,B,O），点D在半圆O上，且.设AC=a，BC=b，则该图形可以完成的“无字证明”为（ ）. A. 例2： 例3：一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？ 最值定理：已知为正数，则 （1）如果积等于定值那么当且仅当时，和有最小值（积定和最小） （2）如果和等于定值那么当且仅当时，积有最大值（和定积最大） 设计意图：指出基本不等式能够解决的两类问题，为用基本不等式解决简单的最大（小）值问题创造条件。 归纳总结 问题：在利用基本不等式求最值时要注意什么？ “一正二定三相等” 设计意图：抽象概括出利用基本不等式求最大（小）值时需要注意的问题：即“一正二定三相等” 4、 小牛试刀 1.判断正误（1） （2） ( ) （3）6 ( ) 2.当 设计意图：在学生已有的基础知识和认知水平上，再次应用基本不等式解决最大（小）值问题。采用小组合作学习的方式，由学生上台讲解和学生点评，培养学生的数学表达能力，落实数学运算的数学核心素养。 5、 课堂小结： 基本不等式 最值定理 结论1：两个正数积为定值，则和有最小值 结论2：两个正数和为定值，则积有最大值 （和定积最大，积定和最小） 设计意图：归纳小结由学生来完成，让学生回顾本节所学知识与方法，以逐步提高学生自我获取知识的