高考冲刺：高考数学命题永恒热点——知识交汇

高考数学命题永恒热点————知识交汇 上海市七宝中学 李广学 为了落实二期课改精神，高考的命题在遵循“注重基础，能力立意，稳中求变”的原则下，不断的进行创新．但是历年的高考试题中可以发现一个新永恒的规律——知识点交汇，这类命题既考查基础，又体现能力，同时有揭示有关交汇知识的内在联系，拓广了高考的命题视野，能有效的促进高三复习重视双基，训练能力，激发学生的综合应用和创新意识。 数学问题的交汇，可以是多角度、多层面的，变化多样。下面我们通过四条主线，对一些典型的知识点交汇题目进行欣赏，来体验知识点交汇问题常见形式以及解题方法。 1、 函数――中学数学的纽带． 函数是高中数学的一条主线，它的思想方法渗透到数学的各个领域，它几乎能和中学的所有基本知识点进行交汇，历来是高考的重要内容。对于这些和函数交汇的问题，我们应该用函数思想（是指利用函数图像和性质）解题；或以运动和变化的观点，去揭示数学问题之间的数量关系，建立函数关系式，使问题获得解决；或对非函数问题通过转化、变换化为函数问题，再利用函数的性质，使问题获得解决。 　例１　已知函数且，设函数。 （1）求证：是奇函数； （2）求及的值； （3）是否存在正整数，使不等式对一切都成立，若存在，求出正整数 的最小值；不存在，说明理由； （4）结合本题加以推广：设是上的奇函数，请你写出一个函数的解析式；并根据第（2）题的结论，猜测函数满足的一般性结论。 　　考点剖析：这是函数和数列以及不等式的交汇问题，考察函数的性质、数列求和的方法、数学归纳法以及不等式恒成立等知识点，考察学生综合的数学能力以及研究性学习能力．应以函数为主线，在明确函数的相关性质后，再顺水推舟的深入解决其他方面的问题． 思路解析：（1）用奇函数定义。 （2），，。 （3）假设存在正整数，使对一切都成立。 由。不等式为． 当和时，不等式显然不成立。猜想当时，。 下面用数学归纳法或者二项式定理就可以证明 对一切都成立． 所以存在最小正整数。 （4）如设，等均可。 则函数满足的一般性结论为，。 例２　已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于B，D两点，过的直线交椭圆于A、C两点，且，垂足为P （1）设P点的坐标为，证明： （2）求四边形ABCD的面积最小值 考点剖析：此题考查椭圆、圆性质的应用与多边形面积最值的求解问题，是圆锥曲线与最值交汇问题。涉及到最值问题时，可先建立问题（即面积）的函数关系式，然后根据其结构特征，运用函数的单调性或均值不等式去获解。 思路解析：（1）椭圆的半焦距由知点P在以线段为直径的圆上。 故，故 （2）①当BD的斜率k存在且时，则 BD的方程为 代入椭圆方程，并化简得 设，则 由知AC的斜率为　　 故四边形ABCD的面积 当且仅当时，上式取等号。 ②当BD的斜率或斜率不存在时，四边形ABCD的面积． 综上所述，四边形ＡＢＣＤ的面积最小值为 2、 向量――新颖的解题武器． 　向量是最近几年高考的重要内容，综合题常常设置在与代数、三角函数、几何等问题的交汇处，主要考查应用向量工具和三角中的有关定理解决问题的应用意识和综合能力，只要我们深刻理解向量的运算法则、夹角公式及其应用，搞好向量主干知识与三角函数的变换和图象、解析几何的运算、立体几何的概念、函数和方程的的思想等交汇知识的复习，提高解题能力，就能适应高考的要求． 例３设函数其中向量 （1） 求函数的最大值和最小正周期 （2） 将的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求厂度最小的d 考点剖析：本题考查向量与函数、三角函数交汇问题．将曲线按向量平移，就是将曲线的图像向左或向右平行移动个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到曲线的图像。高考设置三角函数和向量问题，旨在考查向量运算、平移公式应用和三角恒等变形能力。 思路解析：（1） 故的最大值为，最小正周期是． （2）由得 即． 由向量的平移公式得 当且仅当时，最小 此时为所求。 例４　设两个向量和，其中为实数。若，求的取值范围。 考点剖析：本题是向量运算与参数范围交汇方面的问题．考查运用向量知识、函数知识解决不等问题的能力。求解时先运用向量的运算法则构建条件组，然后根据其结构特征，消去参数或运用函数的有界性去建立不等关系，并借助不等式性质获解。 思路解析：：由得 即 　　　解得 故，即的取值范围为 例５　在平面直角坐标系内，已知三个点列{A n}，{B n}，{C n}，其中A n (n，a n)，B n (n，b n)，C n (n－1，0)，，且点列{B n}在斜率为6的直线上． (1) 试用a 1，b 1与n表示a n (n≥2)； (2) 设a 1= a，b 1=－a，在a 6与a 7两项中至少有一项是数列{a