类型十七 二次根式中的数形结合最值-2022-2023学年八年级数学下册题型突破提高（苏科版）

类型十七、二次根式中的数形结合最值 【解惑】 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”问题：小溪边长着两课棕榈树，恰好隔岸相望，一棵棕榈树高是6米，另外一棵点高4米；与树干间的距离是10米．每棵树的树顶上都停着一只鸟，忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标． (1)问：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根有多远？ (2)求的最小值 　　． 方法：（1）设为米，则为米，在和中，勾股定理得出，根据 ，列出方程，解方程即可求解； （2）根据（1）的方法，构造图形如图所示，于，于，其中，，，点是上一点，同理当、、三点依次在同一直线上时，的值最小，运用勾股定理即可求解． 【融会贯通】 1．已知平面直角坐标系中，有两点，，且满足，为上一动点（不与，重合），轴，轴，垂足分别为，，连接，则的最小值为（    ） A． B．3 C．4 D．5 2．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号， 例如：当时，求的最小值． 解∵∴又∵，∴，即时取等号． ∴的最小值为4． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，当且仅当__________时，有最小值__________． (2)当时，求的最小值． (3)请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为x米．若要围成面积为200平方米的花围，需要用的篱笆最少是多少米？ 3．阅读材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现；当a＞0，b＞0时，有＝a﹣2+b≥0，∴a+b≥2， 当且仅当a＝b时取等号．请利用上述结论解决以下问题： （1）当x＞0时，x+的最小值为　 　；当x＜0时，x+的最大值为　 　． （2）当x＞0时，求y＝的最小值． （3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为12和27，求四边形ABCD面积的最小值． 【知不足】 1．我们已经学习了正比例函数和反比例函数的图像和性质，下面，我们研究函数的图像和性质，我们不妨特殊化，设，，即． （1）① 函数的自变量x的取值范围是 ； ②容易发现，当时，；当时，．由此可见，图像在第 象限； ③阅读材料：当时，．当时，即，有最小值是2．请仿照上述过程，求出当时，的最大值； （2）为了画函数的图像，小明通过列表，描点画出了下图，请连线； （3）观察图像，当随着的增大而增大时，自变量x的取值范围是 ； （4）某隧道长185m，一个匀速前进的车队有10辆车，每辆车长4m，相邻两车的距离d（m）与车速v（m/s）的关系式为，求自第1辆车车头进隧道至第10辆车车尾出隧道所用时间的最小值． 2．【阅读材料】如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：且仅当时取等号，我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数，于是上述的不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： （1）已知，则当______时，式于取到最小值，最小值为______； （2）用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）已知，则______时，分式取到最大值，最大值为_____． 3．阅读下面材料： 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现： 当，时： ∵ ∴，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)请直接写出答案：当时，的最小值为______．当时，的最大值为______； (2)若，求y的最小值； (3)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，、的面积分别为4和10，求四边形ABCD面积的最小值． 4．阅读下面材料： 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现： 当时： ∵    ∴ ∴，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)请直接写出答案：当时，的最小值为_________；当时，的最大值为_________； (2)若，求的最小值； (3)如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值． 【一览众山小】 1．阅读材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现；当a＞0，b＞0时，有＝a﹣2＋b≥0，∴a＋b≥2，当且仅当a＝b时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1