2023年中考数学高频考点专题复习-旋转综合题（几何变换）

2023年中考数学高频考点专题复习-旋转综合题（几何变换） 1．数学课上，老师和同学们对矩形纸片进行了图形变换的以下探究活动： （1）如图1，若连接矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则Rt△ADC可由Rt△ABC经过旋转变换得到，这种旋转变换的旋转中心是点 、旋转角度是 °； （2）如图2，将矩形纸片ABCD沿折痕EF对折、展平．再沿折痕GC折叠，使点B落在EF上的点B′处，这样能得到∠B′GC．求∠B′GC的度数． （3）如图3，取AD边的中点P，剪下△BPC，将△BPC沿着射线BC的方向依次进行平移变换，每次均移动BC的长度，得到了△CDE、△EFG和△GHI（如图4）．若BH=BI，BC=a，则：①证明以BD、BF、BH为三边构成的新三角形的是直角三角形；②若这个新三角形面积小于50，请求出a的最大整数值． 2．将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形A1BC1D1，点A、C、D的对应点分别为A1、C1、D1． （1）当点A1落在AC上时： ①如图1，若∠CAB＝60°，求证：四边形ABD1C为平行四边形； ②如图2，AD1交CB于点O，若∠CAB≠60°，求证：DO＝AO； （2）如图3，当A1D1过点C时，若BC＝10，CD＝6，直接写出A1A的长． 3．数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD（∠BAD=120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）． （1）初步尝试 如图1，若AD=AB，求证：①△BCE≌△ACF，②AE+AF=AC； （2）类比发现 如图2，若AD=2AB，过点C作CH⊥AD于点H，求证：AE=2FH； （3）深入探究 如图3，若AD=3AB，探究得：的值为常数t，则t=____． 4．在，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP． （1）观察猜想 如图1，当时，的值是　 　，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是　 　． （2）类比探究 如图2，当时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由． （3）解决问题 当时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值． 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是直线BC上一点，作直线AD，过点B作BE⊥AD，垂足为点E，连接CE． (1)当点D在如图1的位置时，请直接写出线段EA、EB、EC之间的数量关系； (2)当点D在如图2的位置时，（1）中的结论是否成立，若成立，请完成证明，若不成立，请写出你的结论并说明理由； (3)当点E是线段AD中点时，请直接写出tan∠ADC的值． 6．如图，四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC． 【操作】（1）将△ABD绕点D沿顺时针方向旋转60°，在图中画出旋转后的三角形． 【探究】（2）结合所画图形探究BD与AB，BC之间的数量关系，并证明你的结论． 【应用】（3）若AB=6，BC=8，试求四边形ABCD的面积． 7．在中，，直线DE分别与AC，BC交于点D，E，点P是直线DE上一动点，将CP绕点C逆时针旋转90°，得到线段CQ，连接PQ． (1)若，根据条件解答下列问题： ①如图1，当点P与点D重合时，直接写出AP与BQ的数量关系； ②如图2，当点P与点D不重合，①中结论仍成立吗？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由； (2)若，如图3，，连接BQ，当BQ最小时，求的值． 8．已知菱形中，为对角线，点是的中点，连接交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接. （1）若，求证：四边形是正方形 （2）已知，求的长； （3）若固定，设，将绕着点从点开始逆时针旋转过程中，菱形也随之变化，且满足，若是直角三角形，直接写出的值； 9．问题探究 （1）如图1，中，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，，连接，则的长为_______； （2）如图2，在中，，为边上的高，若，试判断的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； 问题解决 （3）如图3，是某植物园的花卉展示区的部分平面示意图，其中，，边上的点为休息区，米，米，两条观光小路和（小路宽度不计，在边上，在边上）拟将这个展示区分成三个区域，用来展示不同的花卉，根据实际需要，，并且要求四边形的面积尽可能大，那么是否存在满足条件的四边形？若存在，请求出四边形的面积的最大值；若不存在，请说明理由．（结果保留根号） 10．在菱形ABCD中，∠BAD=，E为对角