专题20 三角形中位线综合运用-2022-2023学年八年级数学下册《高分突破•培优新方法》（北师大版）

专题20 三角形中位线综合运用 解题思路 考点1：三角形中位线概念： 三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 如图：DE是△ABC的中位线。 符号语言 说明： （1）一个三角形有3条中位线 （2）定义有双重性：即是性质，也是判定 （3）注意与三角形中线的区别：要把三角形的中位线与三角形的中线区分开．三角形中线是连结一顶点和它对边的中点，而三角形中位线是连结三角形两边中点的并且与底边平行且等于底边一半的的线段 考点2：三角形中位线定理 定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 说明：（1）作用：证明平行关系，倍分关系；转移线段，转移角。 （2）常用辅助线：见中点，构造中位线。 （3）分离基本图形：全等，平行四边形 考点3：证明（转化思想，常用辅助线） 证明1： 如图，延 长DE 到 F，使EF=DE ，连 结CF.-------（中线加倍，构造全等） ∵DE=EF ∠AED=∠CEF AE=EC ∴△ADE ≌ △CFE（SAS） ∴AD=FC ∠A=∠ECF ∴AB∥FC 又∵AD=DB ∴BD∥CF，BD=CF ∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DE∥BC 且 DE=1/2BC 证明2： 如图，延 长DE 到 F，使EF=DE ，连 结CF、DC、AF ∵AE=CE DE=EF ∴四边形ADCF为平行四边形 ∴AD∥CF,AD=CF ∵AD=BD ∴BD∥CF,BD=CF ∴四边形BCFD为平行四边形 ∴BC∥DF,BC=DF ∴DE∥BC 且 DE=1/2BC 考点4：中位线的应用 （1）中点三角形 定义：中点三角形就是把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形. 性质：（1）这个新三角形的各个边长分别是原来三角形三边长的一半且分别平行，角的度数与原三角形分别相等，4个三角形都全等 （2）中点三角形周长是原三角形的周长一半。 （3）中点三角形面积是原三角形面积的四分之一。 补充：中点三角形与原三角形不仅相似，而且位似。 （2）中点四边形 定义：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。中点四边形的形状与原四边形的对角线的数量和位置关系有关。 性质（1）不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。 证明：连接AC,BD-----------（连对角线，构造中位线） ∵E,H,G,F是边AB,AD,DC,BC中点 ∴EH,GF是△ABD,BCD的中位线 ∴EH=1/2BD,GF=1/2BD,EH//BD,GF//BD ∴EH平行等于GF ∴EFGH是平行四边形 （2）中的四边形周长是原四边形对角线之和。 （3）中点四边形面积是原四边形面积的二分之一 典例分析 【典例1】（2022秋•海口期末）如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，若DE＝4，则BC的长等于（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式1-1】（2022秋•叙州区期末）如图，BD是△ABC的中线，E、F分别是BD，BC的中点，连结EF．若AD＝6，则EF的长为（　　） A．4 B．3 C．6 D．5 【变式1-2】（2022秋•安岳县期末）如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若∠CFE＝55°，则∠ADE的度数为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 【变式1-3】（2022秋•栖霞市期末）如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠CBD＝30°，∠ADB＝100°，则∠PFE的度数是（　　） A．15° B．25° C．30° D．35° 【变式1-4】（2022秋•平昌县期末）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，点F在DE上，且AF⊥CF，若AC＝3，BC＝6，则DF的长为（　　） A．1.5 B．1 C．0.5 D．2 【典例2】（2023•泰山区校级一模）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的角平分线，AE⊥CE于点E，连接DE．若AB＝7，DE＝1，则AC的长度是（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【变式2-1】（2022秋•任城区期末）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点，若AB＝10，AC＝6，则EF的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-2】（2022•任城区校级三模）如图，在△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AC＝12，MN＝2，则AB的长为（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 【变式2-3】（2022春•横县期中）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AC＝9，DM＝2，则