专题05一元二次方程根与系数的关系（5种题型1个易错点4种中考考法）-【帮课堂】2023-2024学年九年级数学上册同步学与练（苏科版）

专题05一元二次方程根与系数的关系（5种题型1个易错点4种中考考法） 【目录】 倍速学习五种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点：一元二次方程根与系数的关系 【方法二】 实例探索法 题型1：利用根与系数的关系式求代数式的值 题型2：已知含字母的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母的值 题型3：已知一元二次方程的两根关系求字母的取值（范围） 题型4：已知两数的和与积，构造一元二次方程求这个数 题型5：有关一元二次方程的根与系数关系的创新题 【方法三】 差异对比法 易错点：没有判断一元二次方程根的情况，直接用一元二次方程的根与系数的关系。 【方法四】 仿真实战法 考法1：由已知方程直接求出两根之和或之积 考法2：已知方程一根，求方程另一根 考法3：由已知方程求关于两根的对称式的值 考法4：由一元二次方程两根的关系求字母的取值（范围） 【方法五】 成果评定法 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点：一元二次方程根与系数的关系 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ． 那么可推得这是一元二次方程根与系数的关系． 例1.如果，是方程的两个根，那么=_____________；=_______________． 【答案】；． 【解析】由韦达定理，可得：，． 【总结】本题考查韦达定理，的应用． 【方法二】实例探索法 题型1：利用根与系数的关系式求代数式的值 例2.已知是方程的两根，求下列各式的值： （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）． 【解析】解：由韦达定理，得：，． （1） 原式=； （2） 原式 ； （3） 原式=； （4） 原式． 【总结】本题考查韦达定理，的灵活应用． 例3.已知的值． 【答案】． 【解析】由，可得：，整理得：， 又由于，所以可知、是方程的两根， 由韦达定理，可得：． 【总结】本题考查韦达定理，的灵活应用，而且还考查了一元二次方程的根的灵活应用，要注意观察． 例4.已知是方程：的两根，求代数式的值． 【答案】． 【解析】由题及韦达定理可得：，，得：． === ==． 【总结】本题考查韦达定理，的灵活应用，运用了降次等的思想方法． 题型2：已知含字母的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母的值 例5.若方程：的一个根为，则k=________；另一个根为________． 【答案】；． 【解析】将代入方程，可得：，再由韦达定理可得：，得另一根为． 【总结】本题考查韦达定理，的应用． 题型3：已知一元二次方程的两根关系求字母的取值（范围） 例6.已知是关于x的方程的两根，求b的值． 【答案】． 【解析】由韦达定理，得：， ，而，所以得：，代入可得：． 【总结】本题考查韦达定理，的应用． 题型4：已知两数的和与积，构造一元二次方程求这个数 例7.写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是，． 【答案】． 【解析】由， ，可得方程为：． 【总结】本题考查韦达定理，的应用． 题型5：有关一元二次方程的根与系数关系的创新题 例8.已知一个直角三角形的两个直角边的长恰好是方程：两个根，求这个直角三角形的周长． 【答案】． 【解析】解：设直角三角形的三边长为，，，且是斜边长，由题知，，， 由勾股定理，可得：，所以， 所以直角三角形的周长． 【总结】本题考查韦达定理，的灵活应用，并且考查了直角三角形的性质，即勾股定理的应用． 例9.已知关于x的方程有两根，其中且，求m的取值范围． 【答案】． 【解析】因为方程有两根，所以，即；由韦达定理，可得：， ，因为且，所以，， 即，解得：． 【总结】本题考查韦达定理的应用和一元二次方程的概念以及解不等式的应用． 例10.已知方程：的一个根大于3，另一个根小于3，求a的取值范围． 【答案】． 【解析】解：设方程的两根为，，由，，可得：， 即，而由韦达定理可得，， 所以，即． 【总结】本题考查韦达定理，的灵活应用． 【方法三】差异对比法 易错点：没有判断一元二次方程根的情况，直接用一元二次方程的根与系数的关系。 例11.已知关于x的方程有两个正整数根，求整数k和p的值． 【答案】． 【解析】设是原方程的两根，因为是正整数根，所以且都 是正整数，由韦达定理，得：，所以是正整数， 所以是正整数，即是正整数，所以， 代入原方程可得：，方程的两根为，所以． 【总结】本题考查韦达定理的灵活应用，结合正整数根，题目较综合． 【方法四】 仿真实战法 考法1：由已知方程直接求出两根之和或之积 1．（2021·江苏徐州·统考中考真题）若是方程的两个根，则_________． 【答案】-3 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求