7.5 正态分布（2） 课件-2022-2023学年高二下学期数学 人教A版（2019）选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布 7.5 正态分布(2) 正态密度曲线（简称正态曲线）的性质： (1) 曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称； (2) 曲线在x=μ处达到峰值(最高点) ； (3) 正态曲线在x轴上方，两侧与x轴无限接近而不相交； (4) x轴和曲线之间的区域的面积为1. (5) 若X~N(μ, σ2)，则E(X)=μ, D(X)= σ2. 其中， μ确定正态曲线的位置； σ取得随机变量分布的离散程度。 正态分布的3σ原则 假设X~N(μ, σ2)，可以证明: 对给定的k∈N*，P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值. 特别地， P(μ-σ ≤X≤ μ+σ)≈0.6827 P(μ-2σ ≤X≤ μ+2σ)≈0.9545 P(μ-3σ ≤X≤ μ+3σ)≈0.9973 上述结果可用右图表示. 由此看到，在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ-3σ, μ+3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况几乎不可能发生,称为小概率事件. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ, σ2)的随机变量X只取[μ-3σ, μ+3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 善用 3σ原则解题 例题2 设，试求： （1） （2） （3） 0 1 2 -1 -2 x y -3 3 4 μ=1 解：因为，所以. (1). (2)因为， 所以</m> . （3）. 导学案P110 例题3 袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格。假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4，请你估计这批袋装食盐的合格率。 解：设袋装食盐的误差为随机变量X，且X～N(0，22) 所以这批袋装食盐的合格率为95.45%。 解：正态变量几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，所以可通过判断取出的产品的外直径是否落在这一区间内来分析生产状况是否正常. ∵ξ～N(10，0.22)，∴μ＋3σ＝10.6，μ－3σ＝9.4， ∵9.52∈[9.4, 10.6]，9.98∈[9.4，10.6]， ∴该厂这一天的生产状况是正常的. 练习 正态分布的实际应用：解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格. 判断的根据是概率较小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产生不合格.　 求正态分布变量 X 在某区间内取值的概率的基本方法 (1)根据题目中给出的条件确定 μ 与 σ 的值； (2)将待求问题向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化； (3)利用 X 在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间的面积为1求出最后结果．　 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈__________； (2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈_________； (3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈__________． 0.682 7 0.954 5 0.997 3 X的密度曲线 Y的密度曲线 y x 30 34 38 (1) 随机变量X的样本均值为30，样本标准差为6；随机变量Y的样本均值为34，样本标准差为2. 用样本均值估计参数μ，用样本标准差估计参数σ，可以得到X~N(30, 62)，Y~N(34, 22). 例题4 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到: 坐公交车平均用时30 min，样本方差为36；骑自行车平均用时34 min，样本方差为4. 假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布. (1)估计X，Y的分布中的参数； (2)根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线; (3)如果某天有38 min可用，李明应选择哪种交通工具? 如果某天只有34 min可用，又应该选择哪种交通工具? 请说明理由. 解： (2) 分布密度曲线如右图所示 X的密度曲线 Y的密度曲线 y x 30 34 38 (1)应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具。 例题4 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到: 坐公交车平均用时30 min，样本方差为36；骑自行车平均用时34 min，样本方差为4. 假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布. (1)估计X，Y的分布中的参数； (2)根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线; (3)如果某天有38 min可用，李明应选择哪种交通工具?