专题6.4 二项式定理（5类必考点）-2022-2023学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题6.4 二项式定理 【考点1：二项展开式与通项】 1 【考点2：二项式系数与项系数】 3 【考点3：二项展开式中的系数和】 4 【考点4：二项式系数或展开式系数的最值问题】 6 【考点5：二项式定理的应用】 7 【考点1：二项展开式与通项】 【知识点：二项展开式与通项】 二项 展开式 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二项式定理 二项式 的通项 Tk＋1＝Can－kbk为展开式的第k＋1项 [方法技巧] 二项展开式问题的常见类型及解法 (1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可． (2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．　　 求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路 (1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解． (2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2； (3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．　　 求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的步骤 1．（2007·全国·高考真题（文））二项式的展开式中系数为有理数的项共有（    ） A．6项 B．7项 C．8项 D．9项 2．（2022·江苏·南京田家炳高级中学高二期中）化简的结果为（    ） A．x4 B． C． D． 3．（2007·四川·高考真题（文））展开式中的的系数为______________．（用数字作答） 4．（2007·四川·高考真题（文））的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n的值是___________． 5．（2007·安徽·高考真题（理））若的展开式中常数项为，则自然数__________． 6．（2022·全国·高三专题练习）展开式中，常数项为____． 7．（2022·全国·高三专题练习）的展开式中,含项的系数为___________． 8．（2022·全国·高三专题练习）展开式中不含y的项的系数和为64，则展开式中的常数项为___________. 9．（2022·全国·高三专题练习）求展开式中的常数项． 10．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二期中）记展开式中第项的系数为. (1)求的表达式； (2)若，求展开式中的常数项； (3)若，求. 【考点2：二项式系数与项的系数】 【知识点：二项式系数与项的系数】 二项式 系数 二项展开式中各项的系数C(r∈{0，1，…，n})叫做第r＋1项的二项式系数 项的 系数 项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．如(a＋bx)n的展开式中，第r＋1项的系数是Can－rbr 1．（2022·全国·高三专题练习）若的展开式中第2项与第6项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为（    ） A． B．160 C． D．1120 2．（2022·浙江省杭州学军中学高三期中）已知的展开式中的系数为40，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 3．（2007·全国·高考真题（理））的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项.若实数，那么___________. 4．（2023·全国·高三专题练习）的展开式中，第项的二项式系数比第项的二项式系数大，则展开式中的常数项是第____项． 5．（2022·全国·高三专题练习）已知的展开式中的系数是20,则实数______. 6．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）若的展开式的所有项的系数和与二项式系数和的比值是32,则展开式中项的系数是___________. 7．（2022·全国·高三专题练习）的展开式中的系数为__________（用数字作答）． 【考点3：二项展开式中的系数和】 【知识点：赋值法在求各项系数和中的应用】 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)． ①奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， ②偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. [易错提醒] (1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)； (2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去