4.5 增长速度的比较 课件-2021-2022学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第二册

4.5 增长速度的比较 问题引入 问题引入 情景与问题： 一家世界500强公司曾经出过类似这样的一道面试题： 有一套房子,价格为200万,假设房价每年上涨10％,某人每年固定能攒下40万元,如果他想买这套房子,在不贷款、收入不增加的前提下,这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子？ (A)5年 (B)7年 (C)8年 (D)9年 (E)永远也买不起 你能给出这道题的答案吗？ 分析：增长速度的比较 新知讲授 新课讲授 1.平均变化率 平均变化率实质上是函数值的改变量和自变量的改变量之比. 即：函数y=f(x) 在区间[, ]()或[, ]()上的平均变化率为： =. 也就是自变量每增加一个单位,函数值增加个单位. 新课讲授 2.求下列函数的平均变化率. (1)g(x)=2x+3; (2)h(x)=3x-2. 解： (1) (2) 新课讲授 3.求下列函数的平均变化率 f(x)=x2-2x-1. 解： = =()-2, 由此可知，自变量每增加一个单位，区间长不变的条件下，端点数值之和越大，f(x)的函数值增加的越快. 新课讲授 函数f(x)在区间[1,2]上的平均变化率为________,在区间[2,3]上的平均变化率为__________.从图像上看，如右图所示，线段AB所在直线的斜率小于线段BC所在直线的斜率. 1 3 例题精解 例题精解 例题一 已知函数y=2x,分别计算函数在[1,2]和[2,3]上的平均变化率,并说明,自变量每增加一个单位时,函数变化的规律. 例题精解 解：因为 =,所以y=2x在区间[1,2]上的平均变化率为2；在区间[2,3]上的平均变化率为4. 不难看出，每当自变量增加1个单位时，区间的左端点值越大，函数值增加越快. 例题精解 例题二 已知函f(x)=2x,g(x)=x,h(x)= 分别计算这三个函数在区[a,a+1](a>1)上的平均变化率，并比较它们的大小. 解： 因为 = == 又因为a>1时，有2a>21=2>1, <因此在区间[a,a+1]上，f(x)的平均变化率最大，h(x)的最小. 例题精解 总结： y=2x的增长率比y=x 的增长率快, y=x的增长率比y=的增长率快. 一般的，对于指数函数y=ax,当a>1时,指数函数都具有这个性质,我们称类似指数函数的增长为：指数增长(指数级增长、爆炸式增长). 课堂小结 课堂小结 本节情景与问题中的房价是指数增长的,而攒的钱是线性增长的,因为指数增长的速度会越来越快,因此在题目给定的条件下永远也买不起房子,这可根据下表的计算结果(精确到万元)看出： 年数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 房价/万元 220 242 266 293 322 354 390 429 472 攒的钱/万元 40 80 120 160 200 240 280 320 360 (需要注意的是,上述问题在现实生活中是不可能出现的,因为房价不可能按照每年10%的速度永远增长下去,而买房时可以选择按揭贷款等方式.) 本课结束 $