专题5.28 分式方程增根、无解、正负数解问题（知识讲解）-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）

专题5.28 分式方程增根、无解、正负数解问题（知识讲解） 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此． 【知识点一】分式方程的增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值； 分式方程有增根求参数值的一般步骤： 第一步：左右两边乘以最简公分母，转化为整式方程（不要化简）； 第二步：求出最简公分母为0时未知数的值（即增根），将增根代入整式方程； 第三步：求出参数的值。 【知识点二】分式方程无解是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形： （1）原方程化去分母后的整式方程无解； （2）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解． 分式方程无解求参数值的一般步骤： 第一步：与有增根一样，将分式方程转化为整式方程； 第二步：将整式方程化简，化简到ax=b的形式； 第三步：分类讨论，①整式方程无解，x前面的系数等于0（若x前面系数是常数可不讨论）；②分式方程有增根，将增根代入求参数； 第四步：总结答案。 【知识点三】分式方程的正负数解化为整式方程后如果增根在取值范围内，则须要舍去。这是学生往往出错的地方。其解题步骤为： 第一步：分式方程左右两边同时乘以最简公分母转化为整式方程； 第二步：整理整式方程，求出整数方程的解； 第三步：根据题意列出不等式求参数的取值范围； 第四步：若增根在所给范围内，去增根；若增根不在所给范围内，不需要去增根； 第五步：总结答案。 【典型例题】 类型一、分式方程的增根 1．当m为何值时，分式方程会产生增根． 【答案】 【分析】先化分式方程为整式方程，把分母为零的x值代入整式方程，计算即可． 解：将方程去分母得到： ， 整理，得， ∵分式会产生增根， ∴ 解得， 当时，，不存在； 当时，， 解得． 【点拨】本题考查的是含参分式方程有增根的问题，掌握增根的意义是解题的关键． 举一反三： 【变式1】关于x的方程：．若这个方程有增根，求a的值． 【答案】 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得出x的值，最后将x的值带入整式方程求解即可． 解：方程两边同时乘以得， 即， 当时，若原方程有增根，则， 解得：， 将代入整式方程得：， 解得：， 综上，a的值为． 【点拨】此题考查了分式方程的增根，解题的关键是确定增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【变式2】若关于的方程有增根，求增根和的值． 【答案】是增根， 【分析】找出各个分母得最简公分母，即可得到增根，把增根代入去分母后的方程，即可求出k的值． 解：∵关于的方程有增根，最简公分母为： ∴，即：或是增根， 去分母得：， 把或代入上式得：（等式不成立，舍去）或， 解得：． 综上，方程的增根为， 【点拨】本题主要考查分式方程的增根以及分式方程去分母，掌握分式方程增根的概念是是解题的关键． 类型二、分式方程的无解 2．若关于x的分式方程无解，求m的值． 【答案】m=或1或6 【分析】先把原方程去掉分母转化为整式方程，然后根据原方程无解可得x=2或﹣2或1－m=0，进一步即可求出m的值． 解：原方程即为：， 方程两边同乘以，约去分母，得， 整理，得， 当x=2时，原方程无解，此时，解得：m=； 当x=﹣2时，原方程无解，此时，解得：m=6； 当1－m=0时，原方程无解，解得：m=1； 综上，m=或1或6． 【点拨】本题考查了分式方程的解法和分式方程的增根及无解问题，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握分式方程的解法是解题关键． 举一反三： 【变式1】已知关于的分式方程无解，求的值． 【答案】 或或 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出m的值，由分式方程无解求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 解： 去分母得： 由分式方程无解，得到 即， 当时，，解得 当时，，解得 当，整式方程无解，解得 故m的值为或或． 【点拨】本题考查了分式方程的问题，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 【变式2】若关于x的方程无解，求 m 的值． 【答案】或或 【分析】直接利用分式方程的解的意义分别分析得出答案． 解：方程两边同乘以，得： ， 化简得：， 当时，原方程无解， 可能的增根是或， 当时，， 当时，， 当或时，原方程无解， 或或时原方程无解． 【点拨】本题考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题的关键． 类型三、分式方程的正负数解 3．若关于x的分式方程的解为正数，求k