上海市上海中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷

2022-2023学年上海中学高一（下）期中数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共4小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则(    ) A. ，的最小值为 B. ，的最小值为 C. ，的最小值为 D. ，的最小值为 2. 我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制在面度制下，角的面度数为，则(    ) A. B. C. D. 3. 将函数的图象向下平移个单位，得到的图象，若，其中，，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 4. 设函数若实数、、使得对任意实数恒成立，则的值等于(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共12小题，共36.0分） 5. 一个扇形的面积为，周长为，则它圆心角的弧度数为______． 6. 角的终边经过点，且，则______． 7. 若，则 ______ ． 8. 已知，则______． 9. 函数的最小正周期是______． 10. 在中，角、、的对边分别为、、，其面积，则______ 11. 已知函数的最小正周期为，当时，函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是______ ． 12. 已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围是：______ ． 13. 张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，，，分别是角，，的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解，的可能取值是          只需填写一个适合的答案 14. 定义：关于的两个不等式和的解集分别为和，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式与不等式为对偶不等式，且，则 ______ ． 15. 设，若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是______ ． 16. 若不等式对任意都成立，则实数的最小值为______ ． 三、解答题（本大题共5小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 本小题分 函数的最小正周期为，且在内的图像经过，，三点，求的表达式． 18. 本小题分 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，． 求的值； 若，求外接圆的面积． 19. 本小题分 设为常数，函数． 设，求函数的单调区间及周期； 若函数为偶函数，求此函数的值域． 20. 本小题分 已知 、两地相距，以为直径作一个半圆，在半圆上取一点，连接、，在三角形内种草坪如图，、分别为弧、弧的中点，在三角形、三角形上种花，其余是空地．设花坛的面积为，草坪的面积为，取． 用及表示和； 求的最小值． 21. 本小题分 对于函数，若存在非零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格函数”． 求证：，是“函数”； 若函数是“函数”，求的取值范围； 对于定义域为的函数，函数是奇函数，且对任意的正实数，均是“严格函数”若，，求的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】 【分析】 本题考查的知识点是函数的图象和性质，属于中档题． 将代入得：，进而求出平移后的坐标，进而得到的最小值． 【解答】 解：将代入得：， 将函数图象上的点向左平移个单位， 得到， 若位于函数的图象上， 则， 则，， 则，， 由得的最小值为， 故选：．    2.【答案】  【解析】解：设角所在的扇形的半径为，由扇形的面积公式可得， 则， 可得． 故选：． 设角所在的扇形的半径为，利用面度数的定义及扇形的面积公式可得，利用两角和的余弦公式即可求解的值． 本题主要考查了扇形的面积公式的应用，考查了转化思想，属于基础题． 3.【答案】  【解析】 【分析】 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 首先求出函数的关系式，进一步利用函数的最小值确定的值，最后求出结果． 【解答】 解：将函数的图象向下平移个单位， 得到的图象． 所以：当，，且取最小值时， ， 所以：令：，，，，，时， 解得：，，， 故：当，时，． 故选A．   4.【答案】  【解析】解：令，则对任意的，都有， 于是取，，则对任意的，，由此得． 故选：． 作为一个选择题，可以令取特殊值来求解，找出一个符合对任意实数恒成立的、、，代入可求出所求． 本题主要考查