专题9.13 分式方程（知识讲解）-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练（沪科版）

专题9.13 分式方程（知识讲解） 【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题． 【要点梳理】 要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 特别指出： （1） 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 特别指出： （1） 增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方 程的 两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方 程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根 就是原方程的增根. （2） 解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进 行的. 要点四、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 类型一、分式方程➽➼定义的理解与认识 1．下列方程哪些是分式方程？ （1）； （2）； （3）； （4）（a是常数）． 【答案】（1） （2）是分式方程 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的字母的方程叫做分式方程即可判断． 解：（1）是分式方程；（2）是分式方程；（3）不是分式方程；（4）（a是常数）不是分式方程， 故（1）（2）是分式方程． 【点拨】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是：会利用定义去判断是否为分式方程． 举一反三： 【变式】在下列方程：①、②、③、④、⑤⑥，⑦，⑧，⑨中，哪些是分式方程，并说明理由． 【答案】③④⑤⑦,详见分析 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． 解：方程①②⑥⑧分母中不含未知数，故①②⑥⑧不是分式方程； 方程③④⑤⑦分母中含表示未知数的字母，故是分式方程； 方程⑨属于无理方程． 【点拨】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 类型二、分式方程➽➼解分式方程 2．解下列方程： (1) （2） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程两边同乘以，将分式方程转化成整式方程求解，再检验即可； （2）方程两边同乘以，将分式方程转化成整式方程求解，再检验即可． （1）解：原方程化为， 两边同乘以，得 整理，得， 解得， 经检验，是原方程的根， ∴原方程的根为． （2）解：两边同乘以，得 ， ， 整理，得… 解得， 经检验，是原方程的根． ∴原方程的根为． 【点拨】本题考查解分式方程，通过去分母，将分式方程化成整式方程求解是解题的关键，注意解分式方程要验根． 举一反三： 【变式1】解分式方程 (1) ； （2） 【答案】(1) (2) 无解 【分析】（1）等号两边同时乘以将原方程转换为整式方程，然后求解验根即可； （2）等号两边同时乘以将原方程转换为整式方程