2023年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2023年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 1．已知：如图，中，，． （1）求作：⊙O，使得圆心落在边上，且⊙O经过、两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）； （2）求证：是⊙O的切线． 2．如图，在中，，点是边的中点，点是边上的点，以为圆心，为半径的交，，于点，，，且点是弧的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 3．如图，是半圆的直径，为半圆上一点，，垂足为，为延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 4．如图，是的直径，是上两点，是的中点，过点作的垂线，垂足是．连接交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的值． 5．如图，线段是圆的直径，延长至点，使，点是线段的中点，交圆于点，点是圆上的一动点（不与点，重合），连接，，． （1）求证：是圆的切线； （2）求的值． 6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AC上．过点B作直线交AC的延长线于点D，使得∠CBD=∠CAB．过点A作AE⊥BD于点E，交⊙O于点F． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）若AF=4，，求BE的长． 7．如图，已知以为直径的中，点，在的同侧，点是的中点，连接，过点作于点，于点． （1）求证：是的切线； （2）已知，，求的长． 8．如图，与相切于点，交于点，的延长线交于点，点是上不与点，重合的点，． （1）求的度数； （2）若的半径为，点在的延长线上，且．求证：是切线． 9．如图，是的直径，是的弦，，与的延长线交于点，线段的垂直平分线交于点，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 10．如图，在中，D为边上的一点，过三点的圆O交于点E，已知，． （1）求证：是圆O的直径； （2）过点E作于点F，求证：与圆O相切． 11．如图，已知是的直径，点E是上一点，F为的中点，过点F作的垂线，垂足为C，交的延长线于点D，连接． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 12．为的直径，为的切线，交于交于D， （1）求证：为的切线； （2）过点D作于E，交于交于交于，求的半径． 13．如图，内接于，AB为直径，作交 AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作线段CE，交DF于点E且． （1）求证：直线CE是的切线； （2）如果，，求弦AC的长． 14．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点E，连接CE，CE平分∠ACB． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若CE＝2，BE＝2．求⊙O的半径． 15．如图，内接于的平分线交于点，交于点，连接，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90º，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O． （1）求证：AB是⊙O的切线． （2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tan∠ADC＝，求的值． 17．如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D是边BC的中点，点O是边AB上的点，以O为圆心，OA为半径的⊙O交AB，BC，AD于点F，E，G，且点E是弧GF的中点，连接OE． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若BE=8，BF=4，求⊙O的半径． 18．如图，在ABC中，∠C=90°．∠ABC的平分线交AC于点E，点F在AB上，以BF为直径的⊙O恰好经过点E． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若AE=2AF=4，求BC的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）作线段AC的垂直平分线，交AB于点O，即可； （2）连接OC，利用已知得出∠OCB＝90°，进而即可得到结论． 【解析】解：（1）作图：如图，即为所求作的图， ； （2）证明：如图，连接OC， ∵OA＝OC，∠A＝22.5°， ∴∠BOC＝45°， 又∵∠B＝45°， ∴∠BOC＋∠B＝90°， ∴∠OCB＝90°， ∴OC⊥BC，且点C在⊙O上， ∴BC是⊙O的切线． 【点评】此题是圆的综合题，考查了复杂作图，切线的判定，利用线段垂直平分线的性质得出圆心是解题关键． 2．（1）见解析；（2）⊙O的半径为3． 【分析】（1）连接GF交OE于点M，由等腰三角形的性质得出AD⊥BC，由圆周角定理及垂径定理得出∠DGM=∠GME=90°，得出四边形GMED是矩形，则可得出答案； （2）设OE=OF=x，则OB=x+2，由勾股定理可求出答案． 【解析】（1）证明：连接GF交OE于点M， ∵∠B=∠C， ∴AB=AC， 又∵点D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵AF是⊙O的直径， ∴∠AGF=∠DGF=90°， ∵点E是