2023年中考数学高频考点突破——圆的综合

2023年中考数学高频考点突破——圆的综合 1．如图，是的外接圆，是直径，弦平分，过点D作射线的垂线，垂足为点P，点E是线段上的动点． (1)求证：是的切线； (2)若，，在点E运动过程中，是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 2．如图，内接于，延长直径到，使，过圆心作的平行线交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径及． 3．如图，四边形内接于，对角线，交于点，过点作的切线，若，，． (1)求证：； (2)求的长． 4．如图，是的直径，与相切于点，过点作交于点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 5．如图，四边形中，，以为直径作半圆，与半圆相切于点，连接，分别交半圆于点，平分． (1)求证：是圆的切线； (2)若，求图中阴影图形的面积． 6．如图，是的直径，点C在上，点D在的延长线上．连接、．满足．求证： (1)是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 7．如图1，是的切线，切点为点，连接交于点，点是优弧上一点，连接． (1)求证； (2)如图2，若，，，求的长． 8．如图，在等腰中，， 以为直径作交于点D，过点D作的切线交于点E． (1)求证: ． (2)若，，求阴影部分面积． 9．如图，是的直径，是的切线，交于点． (1)若为的中点，求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 10．如图，在中，，点O在上，以点O为圆心，长为半径的圆与、分别交于点D、E，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，则的长为______． 11．如图，在中，，点在斜边上，以O为圆心，为半径作，分别与，相交于点D，E，连接，若恰好与切于点E． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 12．如图，在中，，为上一点，作，与交于点，经过点、、的与相切于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 13．如图，是的直径，C是圆上一点，弦于点E，且．过点A作的切线，过点C作的平行线，两直线交于点F，的延长线交的延长线于点G． (1)求证：与相切； (2)连接，求的值． 14．如图，为⊙的直径，是⊙的一条弦，为的中点，过点作，垂足为的延长线上的点．连接、． (1)求证：是⊙的切线； (2)延长交的延长线于，若，，求⊙的半径． 15．如图，在中，，，以点O为圆心，为半径的圆交于点C，交于点D． (1)若，则弧的度数为______，弧的长度为______； (2)，求的长． 16．如图，已知是的内接三角形，是的直径，连接． (1)若，求的度数． (2)若平分，求的长． 17．如图，在 ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB． (1)求证：EC是⊙O的切线； (2)若AD＝2，求扇形OAM的面积（结果保留π）． 18．如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD． (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若DE＝5，cos∠ABD＝，求OE的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)见解析 (2)存在，最小值为 【分析】（1）连接，交于点，通过证明四边形为矩形得出，利用切线的判定定理即可得出结论； （2）过点作，并延长交于点，连接，交于点，连接，利用将军饮马模型可知此时的值最小；由题意可得为圆的直径，在中，利用勾股定理即可求得结论． 【解析】（1）解：证明：连接，交于点，如图， 为直径， ． ． 平分， ． ． ， 四边形为矩形． ． 为圆的半径， 是的切线； （2）在点运动过程中，存在最小值．理由： 过点作，并延长交于点，连接，交于点，连接，则此时的值最小，如图， ，， ． 平分， ． 与的度数为． 是直径， 的度数为． ． ，是直径， ． ． 为半圆． 为圆的直径． 由（1）知：是的切线， ． 由题意：垂直平分， ． ． ，， ． ， ． 由（1）知：四边形为矩形， ． ， ． 在中， ， ． ． 在中， ． 的最小值为． 【点评】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的切线的判定与性质，圆周角定理及其推论，轴对称的性质，角平分线的定义，解直角三角形，连接半径和利用轴对称中的将军饮马模型找出存在最小值是解题的关键． 2．(1)证明见解析 (2)的半径为，的值为 【分析】（1）内接于，是直径，可知，如图所示，连接，可知，根据，即可求证； （2），根据平行线分线段成比例，设，可用含的式子表示的半径，在中根据勾股定理即可求出半径，再根据平行，圆的知识可得，在中即可求解． 【解析】（1）证明：∵内接于，是直径， ∴， 如图所示，连接， ∵