上海市青浦高级中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

青浦高级中学2022学年第二学期高二年级数学期中 2023.4 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分） 1．等差数列首项为2，公差为2，则等差数列的通项公式为______ 2．两数1与4的等比中项为______ 3．将循环小数化为分数：______（循环节为23） 4．无论我们对函数求多少次导数，结果仍然是它本身；这就像我们在生活中无论遇到多少艰难险阻，都要不忘初心，坚持自我，按照自己制定的目标，奋勇前行！ 已知函数，则它的导函数______ 5．函数，则______ 6．函数在处的切线方程为______ 7．二项式的展开式中，所有的系数之和为______ 8．某同学有4本相同的小说书，1本散文书。从中取出4本书送给4个朋友，每人1本，则不同的赠法有______种 9．数列满足：，，且（，），则该数列前100项和______ 10．星期一小明在参加数学期中考试，那么再过天后是星期______（填一、二、三、四、五、六、日） 11．的展开式中，含有的项为______ 12．某数学兴趣小组在阅读了《选择性必修第一册》中数列的课后阅读之后，对斐波那契数列产生了浓厚的兴趣。书上说，斐波那契数列满足：，；的通项公式为；在自然界，兔子的数量，树木枝条的数量等都符合斐波那契数列。 该学习兴趣小组成员也提出了一些结论： ①数列是严格增数列 ②数列的前n项和满足 ③ ④ 那么以上结论正确的是______（填序号） 二、选择题（13，14题每题4分，15，16题每题5分，共18分） 13．5个人排一排，甲乙不相邻，不同的排法有（ ） A．144种 B．72种 C．36种 D．18种 14．二项式的展开式中，有理项有（ ）项 A．5 B．6 C．7 D．8 15．对于以下结论： ①若公比，那么等比数列前n项和存在极限 ②为数列最大的项，那么对任意的n（，，）都成立 ③函数的导数为，若，那么为函数的极值点 ④函数的导数为，若恒成立，那么是严格增函数 正确的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 16．设函数，在R上的导函数存在，且恒成立，则当时，下列不等式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 三、解答题（14+14+14+18+18，共78分） 17．（本题满分14分） （1）已知等比数列首项为，公比为q（），前n项和为，请推导等比数列的求和公式： （2）已知等差数列前n项和为，满足，，求的通项公式 18．（本题满分14分）已知二项式（，）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是． （1）求展开式中含的项 （2）求系数最大的项 19．（本题满分14分）某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，产品的正品率P与日产量x（，）件之间的关系为，每生产一件正品盈利4000元，每出现一件次品亏损2000元。（注：正品率产品中的正品件数产品总件数） （1）将日利润y（元）表示成日产量x（件）的函数 （2）该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值 20．（本题满分18分）已知数列满足，． （1）求， （2）求数列的通项公式 （3）如果数列满足，，若对，恒成立，求的最小值 21．（本题满分18分）已知函数 （1）当时，求的最大值 （2）讨论函数的单调性 （3）对任意的，都有成立，求实数a的取值范围 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.5; 9.; 10.； 11.195 12.①②③ 12．某数学兴趣小组在阅读了《选择性必修第一册》中数列的课后阅读之后，对斐波那契数列产生了浓厚的兴趣。书上说，斐波那契数列满足：，；的通项公式为； 在自然界，兔子的数量，树木枝条的数量等都符合斐波那契数列。 该学习兴趣小组成员也提出了一些结论： ①数列是严格增数列 ②数列的前n项和满足 ③ ④ 那么以上结论正确的是______（填序号） 【答案】 【解析】 二、选择题 13.B 14.C 15. A 16.C 16．设函数，在R上的导函数存在，且恒成立，则当时，下列不等式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 , 即 故选C. 三．解答题 17.（1）错位相减法，证明略 （2） 18.（1） （2） 19.（1） (2) 20．（本题满分18分）已知数列满足，． （1）求， （2）求数列的通项公式 （3）如果数列满足，，若对，恒成立，求的最小值 【答案】（1