北京工业大学附属中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题

2022-2023学年第二学期期中考试 高一年级 数学学科试卷 命题人：王莉 审核人：肖志军 （考试时间120分钟，总分150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．已知向量，，且，则的值为 A． B． C． D． 2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则 A. B. C. D. 3. 设如图，在平行四边形中，下列结论正确的是 A． B． C． D． 4.已知中，角所对的边分别为，若，则是 A．钝角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形，但不是等腰三角形 5.向量，， 则（ ） A. B. C. D. 6.已知直线和平面，，则下列四个命题中正确的是 A.若，，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，则 7. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8.已知中，角所对的边分别为，若，则角的取值范围是 A． B． C． D． 9. 校园文创，是指以学校特有的校园文化内涵为基础，经过精妙构思和创作，生产符合校园文化精神、传播校园文化品牌的特殊产品和服务．它既是学校文化的物化形式，同时也是学校文化的传播载体．某文创小组设计了一款校园香囊，它是由6个边长为6cm的全等正三角形拼接而成的六面体（如图10题图旁边），那么香囊内可供填充的容量约为（ ） A. B. C. D. ( 9题图 ) ( 10题图 )10.已知正方体的棱长为，分别为的中点，则下列结论中正确的是 ①直线与直线垂直； ②直线与平面平行； ③点与点到平面的距离相等； ④平面截正方体所得的截面面积为． A．①② B．②④ C．②③ D．③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11. 已知复数,则= ,= ． 12.圆柱的母线长为底面半径为则圆柱的侧面积为______． 13.已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥；③l⊥． ( 14题图 )以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论， 写出一个正确的命题：__________． 14. 如图，在直三棱柱中，， ，直线与平面所成的角 ． 15.如图（16题图旁边），某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台．已知湿地夹在公路，之间（，的长度均超过km），且．在公路，上分别设有游客接送点，，km．若要求观景台建在，两点连线的右侧，并在观景台与接送点，之间建造两条观光线路与，，则观光线路与之和最长为________km． 16.已知函数的部分图象如图1所示，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于点,点为该部分图象与轴的交点.将绘有该图象的纸片沿轴折成直二面角，如图2所示，此时，则 . ( 15题图 ) 给出下列四个结论： ①； ②图2中，； ③图2中，过线段的中点且与垂直的平面与轴交于点； ④图2中，是△及其内部的点构成的集合.设集合，则表示的区域的面积大于. 其中所有正确结论的序号是 . 三、解答题（本大题共5个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请用黑色签字笔作答，请将答案写在答题纸规定相应的位置，超出答题区域作答，答题无效！） 17.(本题满分13分)已知函数的部分图象如图． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间． 18.(本题满分14分)在中，． （Ⅰ）如果，，且，求的值； （Ⅱ）如果锐角的面积为，求的长度． 19.(本题满分14分)在中，，，. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求的面积. 20.（本题满分15分） 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，BC//AD，，且，． （Ⅰ）若平面PBC与平面PAD相交于直线l，求证：BC// l； （Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PCD； （Ⅲ）棱PD上是否存在点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求CE的长；若不存在，请说明理由． 21.(本题满分14分)对于数集，其中，．定义向量集．若对于任意，存在，使得，则称