2023年九年级中考数学复习 方程（组）与不等式（组）讲义

【考点解析】 考点一 方程、不等式的性质以及解法 1. 一元二次方程 ax2 bx c 0(a ≠0) 根的判别式△= ∆ 0 ⇔方程有 实数根 根的情况 ∆ 0 ⇔方程有 实数根 ∆ 0 ⇔方程有 实数根 2. 一元二次方程根与系数的关系： （1） 若 ax2 bx c 0(a ≠0) 的两个根是 x , x ，则 x x = ， x x 1 2 1 2 1 2 = （2） 一元二次方程根与系数关系成立的前提条件是 。 3. 解分式方程的实质是将方程的两边乘以同一个整式，约去 ，将分式方 程转化为整式方程，主要是转化为一元一次方程。解分式方程必须进行 。 4. 一元二次方程的一般形式是 ax2 bx c 0(a ≠0) ，解一元二次方程的常用方 法有① 、② 、③ 、④ 。解题 时，应根据方程的特点，选用适当的方法。求根公式是 （其 中 b2 −4ac ≥0 ） 5. 不等式的三个基本性质： （1）若 a b ，则 a c b c （2）若 a b, c 0 ，则 ac bc, a b c c （3）若 a b, c 0 ，则 ac bc, a b c c 例1. 已知：关于 x 的方程 (m2 −1)x2 2(m 1)x 1 0 ，求解下列问题： （1） 若方程是一元一次方程，则 m= ； （2） 若方程是一元二次方程，则 m 例2. 关于 x 的一元二次方程 kx2﹣2x+1＝0 有两个实数根，那么实数 k 的取值 范围是（ ） A．k≤1 B．k＜1 且 k≠0 C．k≤1 且 k≠0 D．k≥1 例3. 已知 a，b，4 是等腰三角形的三边长，且 a，b 是关于 x 的方程 x2﹣6x+m+6 ＝0 的两个实数根，则 m 的值是（ ） A．m＝2 B．m＝9 C．m＝3 或 m＝9 D．m＝2 或 m＝3 例4. 解下列方程（组）： （1） 3 + 5 =1； （2） x-2 －1= 16 2x-5 5-2x x+2 x2-4 （3） 2x2 −2x 1 （4） (x 4)2 2x 8 1. 根据等式的性质，下列正确的是（ ） A. 由 −1 x 2 y ，得 x 2 y 3 3 C. 由 2x −3 3x ，得 x 3 B. 由 3x −2 2x 2 ，得 x 4 D. 由 3x −5 7 ，得 3x 7 −5 2. 已知 a, b 是方程 x2 x −3 0 的两个实数根，则 a2 −b 2019 的值是（ ） A. 2023 B. 2021 C. 2020 D. 2019 3. 若关于 x 的一元二次方程 k −2x2 −2kx k 6 有实数根，则 k 的取值范围是 （ ） A. k ≥ 0 B. k ≥0且k ≠2 C. k ≥3 2 D. k ≥3 且k ≠2 2 4. 若 16m+2＜0，则关于 x 的方程 mx2﹣（2m+1）x+m﹣1＝0 的根的情况是（ ） A.没有实数根 B．只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 5. 下列说法中，正确的是（ ） A.若 a≠b，则 a2≠b2 C.若|a|＝|b|，则 a＝b B．若 a＞|b|，则 a＞b D．若 a2＝b2，则 a＝b 6. 若关于 x 的一元二次方程（a﹣1）x2﹣ax+a2＝1 的一个根为 0，则 a＝ ． 7. 解下列方程（组）： （1） 2x −1 −2x −3 1 （2） 𝑥𝑥+ 5 =2 3 4 2𝑥𝑥−1 1−2𝑥𝑥 考点二 列方程（组）或不等式（组）解决实际问题 1. 列方程（组）或不等式（组）解应用题的一般步骤： 关键是要从问题中找出等量关系列出方程（组）或者找到不等关系列出不等式（组） 2. 常见应用题的等量关系式： （1） 行程问题：路程=速度× ① 相遇问题：路程和=甲路程 乙路程 ② 追及问题：路程差=速度大者走的路程 速度小者走的路程 ③ 航行问题：顺流速度=船速+ ，逆流速度= －水速 （2） 工程问题：工作量=工作效率× ① 常把工作量看成“1” ② 几个人合作一件工程的工作量=各人工作量的和 （3） 增长率问题 （4） 几何图形问题 （5） 利润问题 ① 利润=售价-进价；②利润率=利润÷进价； ③总利润=单个的利润×数量 例1. 友谊商店 A 型号笔记本电脑的售价是 a 元/台．最近，该商店对 A 型号笔 记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案．方案一：每台按售价的九折销 售；方案二：若购买不超过 5 台，每台按售价销售；若超过 5 台，超过的 部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买 A 型号笔记 本电脑 x 台． （1）